北 京 交 通 大 学
2011-2012学年第一学期《概率统计（B）》期中考试试卷答案
学院 专业 班级
学号 姓名
1．（6分）设P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6,求 P(A|B)。
111解：P(AB)?P(B)P(AB)??? …………………….2分
361811171???P(AB)P(A)?P(AB)1?P(A)?[P(B)?P(AB)]3318?18?7P(AB)????12121?P(B)1?P(B)P(B)1?33………………….4分 2、（10分）设X为一离散型随机变量，其分布律为 1 ?1 0 X 1pi 1?2q q2 2试求：（1）q值；（2）X的分布函数。
解：（1）据分布律的完备性和非负性知，
1??pi?1/2?1?2q?q2，1?2q?0，0?q2?1， 解得
iq?1?11，q?1?（舍去）。 ………………….3分 221 X ?1 0 13pi ?2 2?1 22（2）由于X的分布律为 所以,
X的分布函数为
F(x)?P{X?x}
?x??1?0,??10,x??1??,?1?x?0P{X??1},?1?x?0??。…………….7分 ????2?P{X??1}?P{X?0},0?x?1?2?1,0?x?1??21,x?1??1,x?1??3、（10分）某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7：55~8：00，而火车这段时
?2(5?y),0?y?5?间开出的时间Y的密度函数为fY(y)??25，求此人能及时上火车的概
?其它?0,率。
解：令7：55看作时刻0，以分为单位，故X~U[0,5]，即X的概率密度函数为
?1?,0?x?5， ………………….2分 fX(x)??5?其它?0,而X与Y相互独立，故(X,Y)的联合概率密度函数为
（5?y)?2,0?x?5,0?y?5?， ………………….2分 f(x,y)?fX(x)fY(y)??125?其它?0,所以，此人能及时上火车的概率为P{Y?X}?y?x??f(x,y)dxdy
??50?5x2(5?y)1dydx?. ………………….6分 1253 4、（10分）用3个机床加工同一种零件，由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，
各机床加工的零件为合格品的概率分别是0.94、0.9、0.95，求全部产品中的合格率。 解：令Ai表示第i个机床加工的零件，i?1,2,3，B表示加工的零件是合格品， 据题意知，P(A1)?0.5，P(A2)?0.3，P(A3)?0.2，P(B|A1)?0.94，
P(B|A2)?0.9，
P(B|A3)?0.95，A1,A2,A3为S的一个划分， ………………….4分
由全概率公式，得
P(B)??P(Ai)P(B|Ai)
i?13?0.5?0.94?0.3?0.9?0.2?0.95?0.93。 ………………….6分
5．（12分）设随机变量X~N?0,1?，Y?X?1，试求随机变量Y的密度函数．
2 解：
随机变量X的密度函数为
f?x??12?e?x22 ????x????………………….2分
设随机变量Y的分布函数为FY?y?，则有
FY?y??P?Y?y??PX2?1?y?PX2?y?1………………….2分 ①. 如果y?1?0，即y?1，则有FY?y??0；………………….2分 ②. 如果y?1，则有 FY?y??PX2?y?1?P? ?即
???????22?y?1?X?y?1
e?x22?12?y?1?y?1?e?x22y?1dx??0y?1dx………………….2分
?2?FY?y???2???所以，
?0e?x22dxy?1………………….2分 y?00?1?2?y21e?? fY?y??FY??y???2?2y?1?0?y?1y?0
即
y?1??1e2?fY?y???2?y?1?0?y?1y?0．………………….2分
6．(6分)设随机变量X~b(2,p) ，且P{X?1}?（2）求P{X=1}。
解：
kkP{X?k}?C2p(1?p)2?k5，（1）试确定参数p;9(k?0,1,2)………………….2分
（1）
4?1?P{X?1}?P{X?0}?(1?p)29,p?13;
………………….2分
1241P{X?1}?C??? 。………………….2分 （2）23397．（8分）袋中有5个球，标号分别为1，2，2，3，3，从中任取2个球，以X和Y分别表示这2个球中标号为最小的号码和最大的号码。
(1) 求X和Y的联合分布律； （2）求边缘 分布律；（3）求X=2时，Y的条件
分布律
解：(1) X的所有可能取值为1，2，3， Y的所有可能取值为2，3， P{X?1,Y?2}?2222 ， ?P{X?1,Y?3}??22C510C5101144 ， ?P{X?2,Y?3}??221010C5C51 10 P{X?2,Y?2}? P{X?3,Y?2}?0 ， P{X?3,Y?3}?………………….4分
（2） P{X?1}?451 ， P{X?2}? ， P{X?3}? 101010P{Y?2}?（3）
37 ， P{Y?3}?………………….2分 1010P{Y?2X?2}?P{X?2,Y?2}1P{X?2,Y?3}4? ，P{Y?3X?2}??
P{X?2}5P{X?2}5………………….2分
8．（8分）设有两种月饼混放在一起，其中甲种月饼一块的重量（单位:克）服从
N(50,25)分布，乙月饼一块的重量（单位:克）服从N(45,16)分布。设甲种月
饼占总块数的70%，
（1）今从该批月饼中任选一块，试求其重量超过55克的概率； （2） 若已知所抽出的月饼超过55克，问它是甲种月饼的概率是多少？
（ ?(1)?0.8413,?(2.5)?0.9938)
解：设B=“选出的月饼是甲种月饼” ，B=“选出的月饼是乙种月饼” A=“选出的月饼重量超过55克” ，X=“甲种月饼单块的重量” ， Y=“乙种月饼单块的重量” ， 则 P(B)?0.7,P(B)?0.3,
P(AB)?P{X?55}?1?P{X?55}?1??(
55?50)?1??(1)?1?0.841?30.15875P(AB)?P{Y?55}?1?P{Y?55}?1??( ………………….2分
（1）P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB)
55?45)?1??(2.5)?1?0.9938?0.00624 ?0.7?0.1587?0.3?0.0062?0.11295………………….4分
（2）P(BA)?P(AB)P(B)0.11109??0.9835………………….2分
P(A)0.112959．（14分）设(X,Y)的概率密度为
?e?y,0?x?y,? f(x,y)??
??0,其他.求：（1）关于X和Y的边缘密度 （2）判断X与Y是否独立
（3）fX|Y(x|y) （4）概率P(X?Y?1) 解
x?0,0,x?0,?0,??f(x,y)d?y???x (1) fX(x)?? ????y??e,x?0.edy,x?0;????x?0,y?0,?0,??y?0,??fY(y)??f(x,y)dx??y?y???y …….4分
??ye,y?0.edx,y?0;????0?y?0,?0,(2) 因为fX(x)fY(y)???x?y，所以fX(x)fY(y)?f(x,y)，
?ye,y?0.??