第四讲 函数及其表示
班级________ 姓名________ 考号________ 日期
________ 得分________
一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.设f:x→x是集合A到集合B的映射,如果B={1,2},则A∩B等于( ) A.? B.{1} C.?或{2} D.?或{1} 答案:D
2
?x?2(x≤?1)?22.已知f(x)=?x(?1?x?2),若f(x)=3,则x的值是( )
?2x(x≥2)?A.1 B.1或? C.1,±3,? D. 3 答案:D
3.如图所示,在直角坐标系的第一象限内,△AOB是边长为2的等边三角形,设直线x=t(0≤t≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为f(t),则函数y=f(t)的图象大致是( )
1
答案:C
4.(精选考题·浙江省五校高三第一次联考)已知f(x)??x?0,?2x,则
?f(x?1),x≤0.?4?f????3??4?f???的值等于( ) ?3?A.-2 B.4 C.2 D.-4
448?4?解析:??0,?f???2??,333?3?4???0,3
?4??4??1??1??2?4?f????f???1??f????f???1??f???,?3??3??3??3??3?3?4??4?12?f???f?????4.?3??3?3答案:B
5.若一系列函数的解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y=3x+4,值域为{7,16}的“孪生函数”共有( )
A.4个 B.8个 C.9个 D.12个
解析:值域为{7,16},则定义域中必至少含有1和-1中的一个,且至少含有2和-2中的一个.当定义域含有两个元素时,有{-1,-2},{-1,2},{1,2},{1,-2}四种;当定义域中含有三个
2
2
元素时,有{-1,1,-2},{-1,1,2},{1,-2,2},{-1,-2,2}四种;当定义域中含有四个元素时,有{-1,-2,1,2},所以共有4+4+1=9个“孪生函数”.
答案:C
6.(精选考题·新课标全国)已知函数f(x)=
?|lgx|,??1?x?6??2围是( )
0?x≤10,x?10.若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范
A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24)
[TP及3.tif,Y#]解析:由题意可知,画出函数的图象,不妨设a 答案:C 二?填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.已知f(x)???1?0x≥0,则不等式xf(x)+x≤2的解集是________. x?0答案:{x|x≤1} 8.已知函数f(x)?g(x)分别由下表给出 x f(x) x g(x) 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 1 则f[g(1)]的值为__________;满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是__________. 解析:由表可知.g(1)=3,∴f[g(1)]=f(3)=1. 而f(1)=1,g[f(1)]=g(1)=3.不符合条件,舍去. f[g(2)]=f(2)=3,g[f(2)]=g(3)=1,符合条件,x=2. f[g(3)]=f(1)=1,g[f(3)]=g(1)=3,不符合条件,舍去. 答案:1 2 9.(精选考题·广东)在集合{a,b,c,d}上定义两种运算?和?如下: 3 那 么d? (a?c)=________. 解析:由题所给的新定义得a?c=c, ∴d? (a?c)=d?c=a. 答案:a 10.(精选考题·浙江省金华十校模拟)若f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则可写出满足条件的一个函数解析式f(x)=2x.类比可以得到:若定义在R上的函数g(x),满足 (1)g(x1+x2)=g(x1)?g(x2);(2)g(1)=3;(3)?x1 解析:∵g(x)=3满足(1)312=31?32,(2)3=3,(3)?x1 答案:g(x)=3 三?解答题:(本大题共3小题,11?12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.) 11.已知某人在精选考题年1月份至6月份的月经济收入如下: 1月份为1000元,从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍,用列表?图象?解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y(元)与月份序号x的函数关系,并指出该函数的定义域?值域和对应法则. 解:列表: x y 4 x x x+x x x 1 x x x 1 1000 2 2000 3 4000 4 8000 5 16000 6 32000 图象: 解析式:y=1000?2(x∈{1,2,3,4,5,6}). x-1 其中定义域为{1,2,3,4,5,6},值域为{1000,2000,4000,8000,16000,32000}. 对应法则f:x→y=1000?2. 评析:列表法?图象法和解析式法是表示函数的三种方法,其实质是一样的,只是形式上的区别,列表和图象更加直观,解析式更适合计算和应用.在对待不同题目时,选择不同的表示方法,因为有的函数根本写不出其解析式. 12.如图是下水道的一种横截面,上部为半圆,下部为矩形,若矩形下底边长为2x,此横 x-1 截面面积为y,周长为l(常量)求: (1)y与x之间的函数表达式y=f(x)及其定义域; (2)y=f(x)的最大值. 解:(1)设矩形另一边为z, 5 由2z+2x+πx=l, 得z=? [l-(2+π)x]. ∴y=?πx+2x·? [l-(2+π)x] 2 =??2?y????2??x+lx. 2 ?2x?0l?由?1.?0 2??[l?(2??)x]?0??2故y=-?2?????l?2x?lx0?x???2?2???????为所求. ?(2)∵y=f(x)=-?2???2?x?lx, 2?其抛物线顶点横坐标 ll?x0????0,??4???2???2?2??2??求. l??l∴y=f(x)的最大值为y=f.????4??l2?为所??8?2??13.(精选考题·如皋模拟)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式. 解:f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax-(2+4a)x+3a,① 由方程f(x)+6a=0得ax-(2+4a)x+9a=0,② 因为方程②有两个相等的根, 所以Δ=[-(2+4a)]-4a·9a=0, 即5a-4a-1=0,解得a=1或a=?2 2 2 2 1, 5由于a<0,舍去a=1.将a=? 11263代入①得f(x)的解析式f(x)= ?x-x?. 5555 6