2012年高考真题理科数学（解析版） 江西卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西）卷
数学（理科）
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给也的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．若集合A???1,1?，B??0,2?，则集合?z|z?x?y,x?A,y?B?中的元素的个数为( ) （A）5 （B）4 （C）3 （D）2
2．下列函数中，与函数y?1（A）y?3x定义域相同的函数为（ ）
1lnxsinxx （B）y? （C）y?xe （D）y? sinxxx2??x?1?x?1?3．若函数f?x???，则f?f?10???（ ） ??lgx?x?1?（A）lg101 （B）2 （C）1 （D）0
4．若tan??11111?4，则sin2??（ ） （A） （B） （C） （D） tan?54325．下列命题中，假命题为( ) （A）存在四边相等的四边形不是正方形 （B）z1,z2?C，z1?z2为实数的充分必要条件是z1,z2互为共轭复数 （C）若x,y?R，且x?y?2，则x,y至少有一个大于1
01（D）对于任意n?N，Cn?Cn?2+n都是偶数 ?Cn23344556．观察下列各式：a?b?1，a?b?3，a?b?4，a?b?7，a?b?11，?，则a?b? ( ) （A）28 （B）76 （C）123 （D）199
7．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则
1010|PA|2?|PB|2? ( ) （A）2 （B）4 （C）5 （D）10
|PC|28．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，黄瓜 1.2万元 0.55万元 4吨 假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如韭菜 0.9万元 0.3万元 6吨 下表。为使一年的种植总利润（总利润＝总
销售收入－总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ） （A）50,0 （B）30,20 （C）20,30 （D）0,50
9．样本?x1,x2,,xn?的平均数为x，样本?y1,y2,ym?的平均数为yx?y，若样本
?? - 1 - / 7
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?x1,x2,,xn,y1,y2,,ym?的平均数z?ax??1?a?y，其中0?a?12，则m,n的大小关
SE系为（ ）
（A）n?m （B）n?m （C）n?m （D）不能确定
10．如右图，已知正四棱锥S?ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记SE?x?0?x?1?，截面下面部分的体积为
DCBV?x?，则函数y?V?x?的图像大致为 （ ）
A二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
12 11．计算定积分??1x?sinxdx? 。
?? 12．设数列?an?，?bn?都是等差数列，若a1?b1?7，a3?b3?21，则a5?b5?_____。
x2y2 13．椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右顶点分别是A,B，左、右焦点分别是F1,F2。
ab若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_________。
14．下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______。
三．选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分）
15．⑴（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x?y?2x?0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为____________。 15．⑵（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x?1|?|2x?1|?6的解集为 。
22四．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
12? 16．（本小题满分12分）已知数列?an?的前n项和Sn??n?kn?k?N?，且Sn的
2最大值为8。⑴确定常数k，并求an；⑵求数列??9?2an??的前n项和Tn。 n?2? - 2 - / 7
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17．（本题满分12分）在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知A??4，
???????bsin??C??csin??B??a。⑴求证：B?C?；
2?4??4?⑵若a?zC22，求?ABC的面积。
C1OB1B2y18．（本小题满分12分）如图，从A,0,0?，A2?2,0,0?，1?1B1?0,1,0?，B2?0,2,0?，C1?0,0,1?，C2?0,0,2?这6个点
xA1A2中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个
“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V?0）。⑴求V?0的概率；⑵求V的分布列及数学期望EV。 19．（本小题满分12分）在三棱柱ABC?A1B1C1中，
A1B1C1AB?AC?AA1?5，BC?4，A1在底面ABC的投影
是线段BC的中点O。⑴证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；⑵求平面
ABOCA1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。
20．（本题满分13分）已知三点O?0,0?，A??2,1?，曲线C上任意一点M?x,y?B?2,1?，满足|MA?MB|?OM?OA?OB?2。⑴求曲线C的方程；⑵动点Q?x0,y0???2?x0?2?在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l。问：是否存在定点P?0,t??t?0?，使得l与PA,PB都相交，交点分别为D,E，且?QAB与?PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由。
21．（本小题满分14分）若函数h?x?满足①h?0??1，h?1??0；②对任意a??0,1?，有hh?a??a；③在?0,1?上单调递减，则称h?x?为补函数。已知函数
?????1?xp?h?x???p?1??x??1p????1,p?0?，⑴判函数h?x?是否为补函数，并证明你的结论；⑵若
1n?N??时h?x?的?n存在m??0,1?，使得h?m??m，则m是函数h?x?的中介元，记p?中介元为xn，且Sn? - 3 - / 7
?xi，若对任意的n?N?，都有Sn?i?1n1，求?的取值范围；⑶当??0，22012年高考真题理科数学（解析版） 江西卷
x??0,1?时，函数y?h?x?的图像总在直线y?1?x的上方，求p的取值范围。
2012年普通高校招生全国统考数学试卷（江西卷）解答
一．CDBDB CDBAA
二．11．23；12．35；13．55；14．3；15．⑴??2cos?，⑵?x|?32?x?32?
1k2k22?8，得k?4。16．解：⑴因Sn???n?k??，故n?k时，Sn取得最大值，故
222从而an?Sn?Sn?1?979?n?n?2?。又a1?S1?，故an??n； 222n9?2ann23?⑵因bn?，故T?b?1??2??ni2n2n?122i?1?n，所以Tn?2Tn?Tn? n?1212?1??2?12n?2?n1nn?2?4???4?。 2n?12n?22n?12n?117．解：⑴由题结合正弦定理得sinBsin????????C??sinCsin??B??sinA，故?4??4??2??2?22sinB??2sinC?2cosC???sinC??2sinB?2cosB???sinA，整理可得
????sinBcosC?cosBsinC?1，即sin?B?C??1。因0?B,C?3?4，故B?C??2；
⑵因B?C???A?3?4，故B?5?8，C??8。由题可得b?c?asinC??2sin，故S?ABCsinA8asinB5??2sin，sinA815????1?bcsinA?2sinsin?2cossin?。 288882318．解：⑴从6个点中随机选取3个点的不同取法有C6?20种，选取的3个点与原点在13同一个平面内的取法有C3C4?12种，因此V?0的概率P?V?0??123?； 2051124，故V6333的分布列如右表所示，且V的数学期望EV?
31113234190??????????。
562032032032040⑵V的所有可能取值为0,,,,V 0 16 13 23 43 P 35 120 320 320 120 19．解：⑴连接AO，在?AOA1中，作OE?AA1于E。因AA1//BB1，故OE?BB1。
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因AO1?平面ABC，故AO1?BC。因AB?AC，OB?OC，故AO?BC。所以BC?平面AOA1，从而BC?OE，因此OE?平面BB1C1C。又PO?AB2?BO2?1，
AA1?5，故AE?AO2AA1?55；
⑵以O为原点建立如图所示坐标系，则A?1,0,0?，
B?0,2,0?，C?0,?2,0?，A1?0,0,2?。由AE?1AA1知5E?45,0,25?。设n??x,y,z?是平面A1B1C的法向量，则
???x?2y?0?n?AB?0，故?，取y?1得n??2,1,?1?。由⑴知OE??45,0,25?是平面?y?z?0?0???n?AC1BB1C1C的法向量，故cosOE,n?30OE?n30，即所求夹角的余弦值为。 ?10|OE|?|n|1020．解：⑴MA???2?x,1?y?，故|MAM?BMB??2?x,1?y?，
|?x42?2?2y??2，2OM?OA?OB??x,y???0,2??2y，因此4x??2?2y??2y?2，化简得曲线C的方
??2程为x2?4y；
⑵假设存在点P?0,t??t?0?满足条件，则PA：y?t?11?tx?t，PB：y?x?t。2222??x0x0x0Clyy?x?曲线在Q处的切线：，它与轴的交点为F?0,??。因?2?x0?2，
244??故?1?x0xt?11t?1?1。①当?1?t?0时，?1???，存在?2?x0?2，使得0?，即22222xt?1l与直线PA平行。故当?1?t?0时不符合题意；②当t??1时，??1?0，故
22t?11?t??y?x?ty?x?t??x01?t??22?1?，所以l与直线PA,PB一定相交，由?和得D,E?2222?y?x0x?x0?y?x0x?x0???24?2422?1?t??x02?4t?x0?4tx0?4t的横坐标分别为xD?，xE?，故xE?xD?。又因222?x0?t?1?2?x0?1?t?x0??t?1?为|FP|??x?t，所以S?PDE420211?t?x0?4t?。因为??|FP|?|xE?xD|??228?t?1?2?x02 - 5 - / 7