计算题满分练(三)
24．如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨所在平面与水平面成α＝53°角，导轨间接一阻值为3 Ω的电阻R，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁场区域的宽度为d＝0.5 m．导体棒a的质量为m1＝0.1 kg、电阻为R1＝6 Ω；导体棒b的质量为m2＝0.2 kg、电阻为R2＝3 Ω，它们分别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好．现从图中的M、N处同时将a、b由静止释放，运动过程中它们都能匀速穿过磁场区域，且当a刚出磁场时b正好进入磁场．(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s，a、b电流间的相互作用不计)，求：
2
(1)在b穿越磁场的过程中a、b两导体棒上产生的热量之比； (2)在a、b两导体棒穿过磁场区域的整个过程中，装置上产生的热量； (3)M、N两点之间的距离． 解析 (1)由焦耳定律得，Q＝IRt，
2
Q1I21R1t得＝2， Q2I2R2t1
又根据串并联关系得，I1＝I2，
3
Q12解得：＝
Q29
(2)设整个过程中装置上产生的热量为Q 由Q＝m1gsin α·d＋m2gsin α·d，
可解得Q＝1.2 J
3×3
(3)设a进入磁场的速度大小为v1，此时电路中的总电阻R总1＝(6＋) Ω＝7.5 Ω
3＋3
B2L2v1B2L2v2v1m1R总13
由m1gsin α＝和m2gsin α＝，可得 ＝＝
R总1R总2v2m2R总24d0.5
又由v2＝v1＋a，得v2＝v1＋8×
v1
v1
162222
由上述两式可得v1＝12(m/s)，v2＝v1
9
v2v2721
M、N两点之间的距离Δs＝－ ＝ m
2a2a12
27
答案 (1) (2)1.2 J (3) m
912
25．如图所示，AB是倾角为θ＝30°的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切．圆弧的半径为R.一个质量为m的物体(可以看作质点)从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道上做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求：
(1)物体对圆弧轨道的最大压力大小； (2)物体滑回到轨道AB上距B点的最大距离；
(3)释放点距B点的距离L′应满足什么条件，为能使物体能顺利通过圆弧轨道的最高点D. 解析 (1)根据几何关系：PB＝＝3R
tan θ从P点到E点根据动能定理，有：
RmgR－μmgcos θ·PB＝mv2E－0
代入数据：mgR－μmg·解得：vE＝－3μ
312
·3R＝mvE 22
12
gR
v2E在E点，根据向心力公式有：FN－mg＝m
R解得：FN＝3mg－3μmg
(2)物体滑回到轨道AB上距B点的最大距离x，根据动能定理，有
mg(BP－x)·sin θ－μmgcos θ(BP＋x)＝0－0
13
代入数据：mg(3R－x)·－μmg· (3R＋x)＝0
22解得：x＝
3－3μ3μ＋1
R
v2
(3)刚好到达最高点时，有mg＝m R解得：v＝gR 根据动能定理，有
mg(L′sin θ－R－Rcos θ)－μmgcos θ·L′＝mv2－0
1331
代入数据：mg(L′－R－R)－μmg· L′＝mgR
22223R＋3R解得：L′＝ 1－3μ
3R＋3R所以L′≥，物体才能顺利通过圆弧轨道的最高点D
12
1－3μ答案 (1)3mg－3μmg (3)L′≥3R＋3R1－3μ
(2)3－3μ
3μ＋1
R