同安一中2013届高三理科数学冲刺模拟试卷答案
一、选择题： BADCA AAADC 二、填空题： 11．?216 12．? 13．（－4，2） 14．[?6,4] 15．14
6532??4?3，解得??，……2分 32三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分13分）解：（1）由题意知：
??sinB?sinC2-cosB-cosC?sinBcosA?sinCcosA?2sinA-cosBsinA-cosCsinA ?sinAcosA?sinBcosA?cosBsinA?sinCcosA?cosCsinA?2sinA
?sin(A?B)?sin(A?C)?2sinA………………………………………………………4分 ?sinC?sinB?2sinA??b?c?2a…………………………………………………6分
（2）因为b?c?2a，b?c，所以a?b?c，所以△ABC为等边三角形
13SOACB?S?OAB?S?ABC?OA?OBsin??AB2 ……………………………8分
24?sin????-533?53???(0，?),(OA2?OB2-2OA?OBcos?)?sin?-3cos???2sin(?-)?4434??2??(-，)， 333当且仅当?-?3??2，即??5?53时取最大值,SOACB的最大值为2?………………13分 642（4，5)上有且只有一个零点， 17．解:(１) 函数f?x??x??x?1过(0,?1)点，在区间
?f(4)<0?16-4?-1<01524则必有?即：?，解得：
45，?f(5)>0?25-5?-1>0211C20?C10C1568当??4时，P，…………6分 ??12C50245
(２) 从该学校任选两名老师，用?表示这两人支教次数之差的绝对值， 则?的可能取值分别是0,1,2,3， …………7分
222111111C52?C10?C20?C15C5C10?C10C20?C15C20222于是P???0??， ?P(??1)??22C507C5049111111C5C153C5C20?C10C1510…………10分 P(??2)??P(??3)??22C5049C5049 ，
?的分布列： 从而
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0 1 2 3 2 722 4911第
10 493 4922210351?的数学期望：E??0??1??2??3??． …………13分
74949494918.（1）证明：∵ 菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD?AC，∴BD?AO，
∵ EF?AC，∴PO?EF
∵ 平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF?平面ABFED?EF，且PO?平面PEF，
∴ PO?平面ABFED, ∵ BD?平面ABFED，∴ PO?BD ∵ AO?PO?O，∴ BD?平面POA. ………………………5分 （2）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O?xyz.
设AO?BD?H. 因为?DAB?60?，所以?BDC为等边三角形，
故BD?4，HB?2,HC?23.又设PO?x，则OH?23?x，OA?43?x.
????????????所以O(0,0,0)，P(0,0,x)，B(23?x,2,0)，故 PB?OB?OP?(23?x,2,?x)，
????所以PB?(23?x)2?22?x2?2(x?3)2?10
当x?3时，PBmin?10. 此时PO?3，OH?3.………………………7分
设点Q的坐标为?a,0,c?，由前知，OP?3，则A(33,0,0)，B(3,2,0)，D(3,?2,0)，P(0,0,3).
????????????????AQ?a?33,0,cQP??a,0,3?c所以，，∵AQ=?QP，
?????33a?,??333??a?33???a,???1,0,)， ∴?． ∴Q(????1??1??c?3??c?3???c???1?????333?,0,)．………………………10分 ∴OQ?(??1??1???????????设平面PBD的法向量为n?(x,y,z)，则n?PB?0,n?BD?0． ?????????3x?2y?3z?0,?∵PB?3,2,?3，BD??0,?4,0?，∴? ，
?4y?0???取x?1，解得：y?0,z?1， 所以n?(1,0,1). ………………………10分 设直线OQ与平面PBD所成的角?，
???????OQ?n?????∴sin??cos?OQ,n????????OQ?n333????1??12?(3323?2)?()??1??1?3??2?9??2
219?6???216?????0sin????1?．又∵∴． ∵，∴． ??[0,]??2229??9??2422因此直线OQ与平面PBD所成的角大于
2?，即结论成立．………………………13分 4p……………（１分） 2p2又∵点Q在线段OF的垂直平分线上，且F为抛物线y?2px的焦点，∴点Q的横坐标为．…（2分）
4333又∵点Q到抛物线的准线l的距离为，∴p?，即p?2．………（4分）
2422∴抛物线的方程为y?4x．……………………………（5分）
（Ⅱ）设PM的中点为C，直线l?的方程为x?a，以PM为直径的圆交直线l?于D,E两点，记DE的中
x?3y111点为H．令P(x1,y1)，则C(1,)，∴|DC|?|PM|?(x1?3)2?y12…（7分）∵CH?DE，
222219．解：（Ⅰ）∵抛物线的方程为y?2px，∴直线l的方程为x??页
12第
x1?31?a|?|(x1?2a)?3|．…（9分） 2211∴|DH|2?|DC|2?|CH|2?[(x1?3)2?y12]?[(x1?2a)?3]2 44?(a?2)x1?a2?3a．…………………………………………（11分）
∴|CH|?|从上式可知，当a?2时，|DH|??4?6?2为定值．………（12分） ∴|DE|?2|DH|?22为定值，此时直线l?的方程为x?2．……（13分）
2x?a?lnx)(x?1)?(x?a)lnxx20．解：(1)f?(x)?-----------------------2分
(x?1)2(1(1?a)21? ?1?a?1，?a?0. -------------------4分 ，?24211xlnx(2) f(x)?,?x?(1,??)，f(x)?m(x?1)，即lnx?m(x?)设g(x)?lnx?m(x?)
x?1xx由题设f?(1)?11?mx2?x?m，即?x?(1,??),g(x)?0.g?(x)??m(1?2)?---6分
xxx2①若m?0,g?(x)?0，g(x)?g(1)?0，这与题设g(x)?0矛盾.-----------------8分 ②若m?0方程?mx?x?m?0的判别式??1?4m 当??0，即m?221?g(x)?g(1)?0，时，g?(x)?0.?g(x)在(0,??)上单调递减，即不等式成立．----9
211?1?4m21?1?4m22分；当0?m?时，方程?mx?x?m?0，其根x1??0，x1??1，当
22m2mx?(1,x2),g?(x)?0,g(x)递增，g(x)?g(1)?0，与题设矛盾.综上所述，m?当x?1时, m?1 ---10分；(3) 由(2)知,22k?111?1?,k?N* 时,lnx??x??成立. 不妨令x?22k?12?x?所以ln1k2k?11?2k?12k?1?4k*[ln2k?1?ln2k?1]?,k?N， ?????????224k?12k?12?2k?12k?1?4k?14 ---------------------12分
11??ln3?ln1???44?12?1?12??ln5?ln3???44?22?1??????????n?1ln2n?1?ln2n?1?,???????44?n2?1?nn1ii*4累加可得ln(2n?1)??2.(n?N).ln2n?1??2.(n?N*).-----------14分
4i?14i?1i?14i?1?20??x/?2x?ab?21．(1)待定系数设M=?，-----------4分 ??求得M??02???/???y?2y?cd?页
13第
x?)-----------7分 23（2）解：（Ⅰ）x2?(y?5)2?5-----------3分
/再坐标转移法得y?2sin(?（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t?32t?4?0 由??(32)2?4?4?2?0，故可设t1,t2是上述方程的两根，所以?12??t?t2?32??t1?t2?4 ，又直线l过点
(3,5)，故结合t的几何意义得|PA|?|PB|=|t1|?|t2|?t1?t2?32-----------7分
（3）解：由柯西不等式得
x?4y?9z?[(x)2?(2y)2?(3z)2]?[(?(x?1211)?()2?()2]xyz111?2y??3z?)2?36xyz………4分
当且仅当x?2y?3z时等号成立，………5分，此时x?6,y?3,z?2…6分 所以当x?6,y?3,z?2时，x?4y?9z取得最小值36………… 7分
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