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【模拟试题】
一. 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
*1. 设函数f(x)?x2?4x?4，x?[2，??)，g(x)是f(x)的反函数，则（ ） A. g(x)?2? C. g(x)??2? ?x?2?x B. g(x)?2?x
x D. g(x)??2?x
令y?f(x)?x2?4x?4?(x?2)2
y?x?反函数为y?2?y?2，选x，
B
*2. 若x0是f(x)的极值点，则（ ） A. f'(x0)必定存在，且f'(x0)?0
B. f'(x0)必定存在，但f'(x0)不一定等于零 C. f'(x0)可能不存在 D. f'(x0)必定不存在
应选C。例：y?x在x?0处取得极小值，但该函数在
x?0处不可导，而f'(0)不存在
x0y4z?3 *3. 设有直线??，则该直线必定（ ）
A. 过原点且垂直于x轴 B. 过原点且平行于x轴 C. 不过原点，但垂直于x轴 D. 不过原点，且不平行于x轴
? 直线显然过（0，0，0）点，方向向量为l??0，4，?3?，
?，x轴的正向方向向量为v?1，0，0????l?v?1?0?4?0?(?3)?0?0?l?v，故直线与x轴垂
??直，故应选A。
?n? *4. 幂级数?anx在点x?2处收敛，则级数?(?1)nann?0n?0（ ）
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与an有关
?
??an?0nn0nxn在点x?2处收敛，推得对?x0?(?2，2)，
??n0?an?0x绝对收敛，特别对x0??1有?anxn?0??an?0n(?1)n绝对收敛，故应选A。
?x 5. 对微分方程y''?3y'?2y?e，利用待定系数法求其特解
y*时，下面特解设法正确的是（ ）
1
A. y*?Ae?x?x B. y*?(Ax?B)e?x C.
y*?Axe D. y*?Ax2e?x
二. 填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。 *6.
limx???limx???x?x?1?xx3/23?_________________.
x?x?1?xx3/2x23?x???(1?lim1x?1x3?1x1/2)?1
7. 设y? *8.
F(n)e1?x，则y'?_________________.
F(n?2)设(x)??xx2edtt，则
(x)?_________________.
(n?1) 解：FF(n)(x)?(F(n?1)2(n?2)(x))'?(?x2xx2edt)'?2xextx2?e
x(x)?(F2(x))'?(2xe?e)' ?2ex?4x2ex?ex?4xe2x2
*9.
?e2?2edxx2?ex1 解
?x1?lnx2edxx1?lnx?_________________. ?1?e2d(1?lnx)1?lnx1?21?lnxe12
?23?2?2(3?1) 10. dz(1，1)设z?12ln(1?x2?y)2，则
?_________________.
?? *11. 已知a??1，2，1?，b??2，?1，1?，则过点
??M0(1，1，1)且同时平行于向量a和b的平面的方程为
_________________.
??? 面的法向量为n?a?b?12?i?j2?1?k???1?3i?j?5k 1 平面的方程为3(x?1)?(y?1)?5(z?1)?0即3x?y?5z?1?0 12. 微分方程
dydx??3y?e2n2x的通解是_________________.
*13. 幂级数?n?0(x?1)9n的收敛区间是_________________.
2
2n2n?2 解：令un(x)?
limn??(x?1)9n，un?1(x)?2n?2(x?1)92nn?1
2un?1(x)un(x)2?limn??(x?1)9n?1?9n(x?1)?(x?1)9
由
(x?1)9?1解得，?2?x?4，于是收敛区间是
????? 14. 设a?i?j?2k，则与a同方向的单位向量?0a?_________________.
(?2，4)
*15. 交换二次积分I?I?_________________.
?10dx?xx2f(x，y)dy的次序得
解：积分区域如图所示：D：y?x?是 I?1xx2y，0?y?1，于
?0dx?f(x，y)dy??dy?01yyf(x，y)dx
(1,1) x 1
三. 解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分，解答时应写出推理，演算步骤。 *16. 计算? 解： ? ? ?x?(arctanx)1?x1?xx22222dx
?x?(arctanx)dx (arctanx)1?x22?1?x12dx?2?dx
2?1d(1?x)1?x2?x)nd(arctax)n ?(arcta13(arctax)n?c
lim32ln1(?x)??1x22 *17. 设f(x)?e 解： ?elimh?0，求h?0f(1?h)?f(1)h
f(1?h)?f(1)h?f'(1)
?1x2(2x3)x?1?2e?1
3
32 18. 判定函数y?x3?x的单调区间
y21?tdt?0所确定的隐函数
19. 求由方程yx2?y?y(x)的微分dy
?0 *20. 设函数f(x)?lnx? 解：设A?分得 A?e?e1f(x)dx，求?f(x)dx
1e?e1f(x)dx，则f(x)?lnx?A，两边求定积
e?1f(x)dx??(lnx?1A)dx
e1 ?(xlnx?x?Ax) 解得：A?1e??Ae?A?1
，于是
1e f(x)?lnx?? (?1)n?2n 21. 判定级数?n?1的收敛性，若其收敛，指出是绝n对收敛，还是条件收敛？ 22. 设z?x2siny2?xy3，求
?z?x?y
23. 求微分方程y''?3y'?2y?xex的通解
*24. 将函数f(x)?arctan2x展开为麦克劳林级数 解：f'(x)?(arct2axn)'??21?4xx2n2??2?(?4x)
n?02n ? f(x)?f(0)???n?0(?1)2n2n?1（??12?x?n2n?112）
2n?x0f'(t)dt??x0[?(?1)2n?0x]dx
??(?1)n?0n22n?1?x?0x2ndx??(?1)n?0nn22n?12n?1x2n?1x2n?1
12? 即f(x)?arctan2x? 25. 设
ddxf(x)?2?n?0(?1)22n?12n?1 ?12?x?
1x，求f'(x)
22 26. 求函数z? *27. 求曲线y? 解：（1）?1?x?y在条件y?12?0之下的最值。
x32(x?1)y?的渐近线
x32limx??limx??(x?1)??
?曲线没有水平渐近线
4
3 （2）
limx??1y?limx??1x??，曲线有铅直渐近线
(x?1)2x??1
（3）limylimx2x??x?x??(x?1)2?1?a
limx??(y?ax)?lim(x3x??(x?1)2?x)
332 ?limx?x?2x?xx??(x?1)2??2?b
所以曲线有斜渐近线 y?x?2
*28. 设区域为D：1?x2?y2?2，y?0，??dxdy
D4?x2?y2 解：积分区域如图所示（阴影部分）
??dxdy???d??2rD4?x2?y2014?r2dr
???211?12(4?r2)
4?r2d ???4?r221??(3?2)
y x O
5
计算