【试题答案】
一.
1. 令y?f(x)?x2?4x?4?(x?2)2 ?x?2?y?x?反函数为y?2?y?2，选x，
B
2. 应选C。例：y?x在x?0处取得极小值，但该函数在? 3. 直线显然过（0，0，0）点，方向向量为l??0，4，?3?，
?，x轴的正向方向向量为v?1，0，0????l?v?1?0?4?0?(?3)?0?0?l?v，故直线与x轴垂x?0处不可导，而f'(0)不存在
??直，故应选A。
? 4.
??an?0nn0nxn在点x?2处收敛，推得对?x0?(?2，2)，
??n0?an?0x绝对收敛，特别对x0??1有?anxn?0??an?0n(?1)n绝对收敛，故应选A。
5. r2?3r?2?0特征根为r1??1，r2??2，由此可见???1（?e?x?e(?1)x?e?x）是特征根，于是可设
?x?xy*?xAe?Axe，应选C。
二. 6.
limx???x?x?1?xxx33/2?x???(1?lim1x2?1x3?1x1/2)?1
7. y'?e(1?x)?e(1?x)'(1?x)(n?1)2x222?(1?x?2x)e(1?x)xx2x22?(x?1)e(1?x)x22x22
8. 解：FF(n)(x)?(F(n?1)2(n?2)(x))'?(?x2edt)'?2xext?e
x(x)?(Fx2(x))'?(2xex?e)' ?2e?4xex22x?e?e?
2?4xe2 9. 解
?e2?2edxx2xe1x1?lnxx1?x?yy1?x?y(1，1)?d(1?lnx)1?lnx1?21?lnxe12
?23?2?2(3?1) 10.
?z?x??22，
?13dx?13dy
?z?y22?dz(1，1) （?dz??z?x(1，1)dx??z?y(1，y)dy）
6
11. 平面的法向量为n?a?b?12????i?j2?1?k???1?3i?j?5k 1 平面的方程为3(x?1)?(y?1)?5(z?1)?0即3x?y?5z?1?0
12. 解：p(x)?3，q(x)?e2x
?p(x)dxp(x)dx 通解为y?e?(?q(x)e?dx?c) ?3dx3dx ?e?(?e2xe?dx?c)
?e ?e ?15?3x(?edx?c) 15x(e?c) 5?ce?3x5x?3xe2x
2n 13. 解：令un(x)?
limn??(x?1)9n，un?1(x)?2n?2(x?1)92n?2n?1
2un?1(x)un(x)2?limn??(x?1)9n?1?9n2n(x?1)?(x?1)9
由
(x?1)9?1解得，?2?x?4，于是收敛区间是
(?2，4)
14.
?a?1?1?2222?6，
?a1?1?2??0a???i?j?k
a666 15. 解：积分区域如图所示：D：y?x?于是 I?1xx2y，0?y?1，
?0dx?f(x，y)dy??dy?01yyf(x，y)dx
(1,1) x 1
三. 16. 解： ??x?(arctanx)1?xx222dx
2?1?xdx??(arctanx)1?x2dx
7
2 ? ??2121d(1?x)1?x2?x)nd(arctax)n ?(arcta1(arctax)n?c
?f'(1)
32ln1(?x)?2 17. 解： ?e?1xlimh?03f(1?h)?f(1)h2(2x)3x?1?2e?1
32 18. 解：y'? ?3x(3?x)?x(3?x)'(3?x)x(9?x)(3?x)22222222
当?3?x?3时，函数单调增加；当x??3或x?3y'?0，
时，y'?0，函数单调减少，故函数的单调递减区间为(??，?3)?(3，??)，单调递增区间为(?3，3)
19. 解：方程两边对x求导（注意y?y(x)是x的函数）： y'x2?2xy? 解得 y'?1?y?y'?0
22xy1?y2?x2
dx
?dy?y'dx? 20. 解：设A?积分得 A?e2xy1?y2?x2?e1f(x)dx，则f(x)?lnx?A，两边求定
e?1f(x)dx??(lnx?1A)dx
e1 ?(xlnx?x?Ax) 解得：A?1e??Ae?A?1
，于是
1e f(x)?lnx?
? 21. 解：（1）先判别级数?n?1(?1)2n??n?n?n?11n?n2的收
敛性 令un??1n?n?2?11(n?1)2?1n?1?vn
??vn?n?1?n?1发散
n?1?? ??un?n?1?n?11n?n2发散
（2）由于所给级数是交错级数且
8
<1>un?1n?n2?1(n?1)?(n?1)2?un?1
<2>limun?0 n?? 由莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。
?z23 22. 解：?2xsiny?y
?x
?z?x?y2???y?x(?z)???y(2xsiny?y)
23 ?4xycosy2?3y2
23. 先求方程y''?3y'?2y?0的通解：
特征方程为 r2?3r?2?0，特征根为r1??1，r2??2，于是齐次方程通解为 y?c1e?x?c2e?2x……（1）
方程中的f(x)?xex?xe?x，其中??1不是特征根，可令
y*?(ax?b)ex
则y*'?(ax?a?b)ex，y*''?(ax?2a?b)ex 代入原方程并整理得
(6ax?5a?6b)ex?xex?6a?1， 5a?6b?0?a? y*?(16x?536x16，b??536
)e……（2）
?x 所求通解为 y?y?y*?c1e 24. 解：f'(x)?(arctan2x)'???c2e?2x?(?16x?5362)e
nx21?4x2n2?2?(?4x)
n?0 ? f(x)?f(0)???n?0(?1)2n2n?1x（??12?x?n12）
2n?x0f'(t)dt??[?(?1)0n?0x22n?1x]dx
??(?1)n?0n22n?1?x?0x2ndx??(?1)n?0nn22n?12n?1x2n?1x2n?1
12? 即f(x)?arctan2x? 25. 解：因 f'(x)?2?n?0(?1)222n?12n?1d ?212?x?1x
ddx12xf(x)?f'(x)?2x由
2dxf(x)?得
2，从而f'(x)?12x
26. 解：把条件极值问题转化为一元函数的最值
9
z(x)?1?x?214?34?x
322 当x?0时，函数取到最大值 当x??32
时，函数取到最小值0
limx?? 27. 解：（1）?y?limx??x32(x?1)??
?曲线没有水平渐近线 （2）
x??1
limx??1y?limx??1x32(x?1)x22??，曲线有铅直渐近线
（3）
limx??limx??yx?limx??(x?1)(2?1?a ?x)
(y?ax)?33limx??x32(x?1) ?limx??x?x?2x?x(x?1)2??2?b
所以曲线有斜渐近线 y?x?2
28. 解：积分区域如图所示（阴影部分）
?2dxdyr ????d??dr
222014?x?y4?rD ???21?122114?r22d(4?r)
2)
2 ???4?r??(3? y x O
10