闸北区2高三数学（理科）期中
一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每
个空格填对得6分，否则一律得零分． 1．设i为虚数单位，集合A??1,?1,i,?i?，集合B??i10,1?i4,(1?i)(1?i),??1?i??，则1?i?A?B? ．
2．函数y?sinx(?342?2?x?0)的反函数为 ．
63．?1?2x??1?x?展开式中x的系数为 ．
4．一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到
27；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意59摸出2个球，记得到白球的个数为?，则随机变量?的数学期望E?? ． 5．半径为r的球的内接圆柱的最大侧面积为 ． 6．设M?x,y,z?为空间直角坐标系内一点，点M在xOy平面上的射影P的极坐标为??,??（极坐标系以O为极点，以x轴为极轴），则我们称三元数组??,?,z?为点M的柱面坐
黑球的概率是
??? ,?1?，则直线OM与xOz平面所成的角为 ．
3??7．设y?f(x)为R上的奇函数，y?g(x)为R上的偶函数，且g(x)?f(x?1)，
g(0)?2．则f(x)? ．（只需写出一个满足条件的函数解析式即可）
标．已知M点的柱面坐标为?6,8．某商场在节日期间举行促销活动，规定：
（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；
（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠； （3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优
惠，超过500元的部分给予8折优惠．
某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为 ． 9．设OA??x,a?x?，OB??x,2?，x??1,2?，且OA?OB，则函数f(x)?loga的最大值为 ．
二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确
的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分． 10．命题“对任意的x?R，f(x)?0”的否定是 【 】
A．对任意的x?R，f(x)?0 B．对任意的x?R，f(x)?0 C．存在x0?R，f(x0)?0 D．存在x0?R，f(x0)?0
11．设函数f(x)?lg(a?b)(a?1?b?0)，若f(x)取正值的充要条件是x?[1,??)，
则a，b满足 【 】 A．ab?1 B．a?b?1 C．ab?10 D．a?b?10
12．在xOy平面上有一系列的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，?，Pn(xn,yn)，?， 对于所
有正整数n，点Pn位于函数y?x(x?0)的图像上，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴相切，且⊙Pn与⊙Pn?1又彼此外切，若x1?1，且xn?1?xn．则limnxn? 【 】
n??1x?1axx2A．0 B．0.2 C．0.5 D．1
三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤． 13．本题满分14分
已知a?(cos?,sin?)和b?(2?sin?,cos?)，??(?,2?)，且|a?b|?82，求5????sin?与cos???的值．
?28?14．本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分
某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB?16米，AD?4米，腰梁AE、BF、CF、DE分别与相交的底梁所成角均为
60?．
（1）请指出所有互为异面的且相互垂直
的“梁”，并说明理由；
（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可
储存多少立方米粮食？
15．本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分
和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．在空间直角坐标系O?xyz中，空间曲面的方程是一个三元方程F(x,y,z)?0．
设F1、F2为空间中的两个定点，|F1F2|?2c?0，我们将曲面?定义为满足
|PF1|?|PF2|?2a(a?c)的动点P的轨迹．
（1）试建立一个适当的空间直角坐标系O?xyz，求曲面?的方程； （2）指出和证明曲面?的对称性，并画出曲面?的直观图．
16．本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分
设数列?an?与{bn}满足：对任意n?N，都有ban?2??b?1?Sn，bn?an?n?2n?1．
?n其中Sn为数列?an?的前n项和．
（1）当b?2时，求数列?an?与{bn}的通项公式； （2）当b?2时，求数列?an?的前n项和Sn．
17．本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分
31,)的距离与到定直线22曲线C2是由曲线C1绕坐标原点O按顺时l1:3x?y?2?0的距离相等的动点P的轨迹，
?针方向旋转30形成的．
（1）求曲线C1与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2的方程；
（2）过定点M0(m,0)(m?2)的直线l2交曲线C2于A、B两点，已知曲线C2上存
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1为到定点F(在不同的两点C、D关于直线l2对称．问：弦长CD是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．
闸北区2013学年度第二学期高三数学（文科）期中练习卷
考生注意：
1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，
并在规定区域内贴上条形码．
3. 本试卷共有17道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每
个空格填对得6分，否则一律得零分． 1．设i为虚数单位，集合A??1,?1,i,?i?，集合B??i10,1?i4,(1?i)(1?i),??1?i??，则1?i?A?B? ．
2．在平面直角坐标系xOy中，以向量a??a1,a2?与向量b??b1,b2?为邻边的平行四边形的面积为 ．
63．?1?2x??1?x?展开式中x的系数为 ．
344．过原点且与向量n??cos(??????),sin(?)?垂直的直线被圆x2?y2?4y?0所截得的弦66?长为 ．
5．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 种． 6．设0????2，a1?2cos?，an?1? 2?an，则数列?an?的通项公式an? ．
?2sinx,0?x?2?,7．已知函数f(x)??2若f(f(x0))?3，则x0? ．
?x, x?0.4(a?1)2a(a?1)22?2xlog2?log2?0恒成立，8．设对所有实数x，不等式xlog2aa?14a2则a的取值范围为 ．
9．现有一个由长半轴为2，短半轴为1的椭圆绕其长轴按一定方向旋转180所形成的“橄榄球面”．已知一个以椭圆的长轴为轴的圆柱内接于该橄榄球面，则这个圆柱的侧面积的最大值是 ． 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确
的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分． 10．命题“对任意的x?R，f(x)?0”的否定是 【 】
A．对任意的x?R，f(x)?0 B．对任意的x?R，f(x)?0 C．存在x0?R，f(x0)?0 D．存在x0?R，f(x0)?0
11．若0???2?,sin??3cos?，则?的取值范围是 【 】
A．????????4?,? B．?,?32??33??????3? C． D．,?????,3????32?? ?12．某商场在节日期间举行促销活动，规定：
（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；
（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；
（3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优
惠，超过500元的部分给予8折优惠．
某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为 【 】 A．1600元 B．1800元 C．2000元 D．2200元
三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤． 13．本题满分14分
已知a?(cos?,sin?)和b?(2?sin?,cos?)，??(?,2?)，且|a?b|?82，求5sin?的值．
14．本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分
某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB?16米，AD?4米，腰梁AE、BF、CF、DE分别与相交的底梁所成角均为
60?．
（1）求腰梁BF与DE所成角的大小； （2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可
储存多少立方米粮食？
15．本题满分16分，第1小题满分10分，第2小题满分6分
2x?1设定义域为R的函数f(x)?为偶函数，其中a为实常数． xa?4（1）求a的值，指出并证明该函数的其它基本性质；
（2）请你选定一个区间D，求该函数在区间D上的反函数f?1?x?．
16．本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分
设数列?an?与{bn}满足：对任意n?N，都有ban?2??b?1?Sn，bn?an?n?2n?1．
?n其中Sn为数列?an?的前n项和．
（1）当b?2时，求{bn}的通项公式，进而求出?an?的通项公式； （2）当b?2时，求数列?an?的通项an以及前n项和Sn．
17．本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分
22,)的距离与到定直线22l1:x?y?2?0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C2是由曲线C1绕坐标原点O按顺时
?针方向旋转45形成的．
（1）求曲线C1与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2的方程；
（2）过定点M(m,0)(m?0)的直线l2交曲线C2于A、B两点，点N是点M关于原
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1为到定点F(点的对称点．若AM??MB，证明：NM?(NA??NB)．
高三数学（理科）练习卷答案
一、1．??1,i? 2．y?arcsin(?x)(0?x?1)等 3．?20
4．1 5．2?r2 6．arcsin7．f(x)?2sin3101等 37?x等 8．2000 9．?1?loga(1?a) 21第2题的答案也可写为y?arccos?1?2x?(0?x?1)；第6题的答案也可写为
2?3101；第9题的答案也可写为0． ?arccos237二、10． D； 11．B； 12．C．
三、13．解：a?b?(cos??sin??2,cos??sin?)
|a?b|?(cos??sin??2)2?(cos??sin?)2
?4?22(cos??sin?)
????21?cos????． （4分）
4??82??7?由|a?b|?，得cos?????. （1分）
54?25?????24???sin??????1?cos2??????. （1分）
4?4?25??312172????????????或 （2分） ?sin????????sin????cos?cos????sin??5044?4?44?450????????2?，
312?sin???. （2分）
50?????2??又cos?????2cos????1， 4???28?????16． （2分） cos2????2825??5???9????????，?cos?????0，
82884??4?????cos?????． （2分）
5?28???另解：?a?b?(2?sin??cos?,sin??cos?)
??2128?a?b?(2?sin??cos?)2?(sin??cos?)2?4?22(sin??cos?)?
2572?sin??cos??? ① （4分）
25985272?0， 由(sin??cos?)?1?2sin?cos??，得2sin?cos??625625