数学试题答案
一、选择题： 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 D 6 B 7 A 8 C 9 C 10 A 11 C 12 D 二、填空题：
18. （本小题满分12分） 解:（I）f(x)?sin(2x???32?6)?1 …………3分
?3?2x?32?12?x?5?12 ???6?6?2?3
?6)?1?0
???sin(2x?)?1? ?1??sin(2x?则f(x)的最小值是?1?（II）f(c)?sin(2C??232,最大值是0. ????????6分
?66)?1, ?11?6)?1?0,则sin(2C??0?C??,?0?2C?2?,???6?2C??,
?2C??6??2,
C??3, ????????????????8分
?向量m?(1,sinA)与向量n?(2,sinB)共线
1?2?sinAsinB， ??????????????????10分
ab?12由正弦定理得， ①
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由余弦定理得，c?a?b?2abcos222?3，即a?b?ab?3 ②
22由①②解得a?1,b?2. ?????????????????12分
(ii)当1?c?3时，由T??2x?24x?54(6?x)22?2(x?3)(x?9)(6?x)2
知函数T?9x?2x6?x2在[1,3]上递增，?Tmax?9c?2c6?c2，此时x?c--------------------10分
综上，若3?c?6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润
若1?c?3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润--------------------------12分 20．（本小题满分12分） 解：（I）?f(x)是二次函数，且f(x)?0的解集是(0,5),
?可设f(x)?ax(x?5)(a?0).--------------------------------2分
?f(x)在区间??1,4?上的最大值是f(?1)?6a.
由已知，得6a?12,
?a?2,?f(x)?2x(x?5)?2x?10x(x?R).2-----------------------------4分
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（II）方程f(x)?37x?0等价于方程2x?10x?37?0.
32设h(x)?2x3?10x2?37,则h'(x)?6x2?20x?2x(3x?10). 当x?(0,当x?(103)时，h'(x)?0,h(x)是减函数；
103,??)时，h'(x)?0,h(x)是增函数.------------------------8分
103)??127?0,h(4)?5?0, 103),(103,4)内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,??)?h(3)?1?0,h(?方程h(x)?0在区间(3,内没有实数根.---------------------------------------------------------------10分
所以存在惟一的自然数m?3,使得方程f(x)?37x?0在区间(m,m?1)内有且只有
两个不同的实数根.-------------------------------------------------------12分 21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3x,
－由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e33＝0，即得b＝－3－2a，---------------2分
－则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3
－－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3x＝－(x－3)(x＋a+1)e3x.
－令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点， 所以x1?x2，那么a≠－4. 当a<－4时，x2>3＝x1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.-----------------------4分 当a>－4时，x2<3＝x1，则
在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.-------------------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min{f (0)，f (4) }，f (3)]，
而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e1>0，f (3)＝a＋6，
－
那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].--------------------8分
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又g(x)?(a?2254)e在区间[0，4]上是增函数，
254254x且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋
254，（a2＋
14）e4]，-----------------10分
12由于（a2＋
254）－（a＋6）＝a2－a＋
＝（a?32）2≥0，所以只须仅须
（a2＋
）－（a＋6）<1且a>0，解得0
32.
故a的取值范围是（0，）.-----------------------------------------------12分
ECDFAOHB四、选考题：
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 证明：（Ⅰ）连接OD，可得 ?ODA??OAD??DAC
om]OD∥AE----------------------------------------3分 又AE?DE?OD?DE
?DE是⊙O的切线.----------------- ------------5分 （Ⅱ）过D作DH?AB于H，则有?DOH??CAB
?cos?DOH?cos?CAB?ACAB?35.------------------6分
设OD?5x，则AB?10x,OH?3x,DH?4x
?AH?8x,AD2?80x--------------------------8分
22由?ADE∽?ADB可得AD?AE?8x
?AE?AB?AE?10x
又?AEF∽?ODF，
AFDF?AEDO?58--------------10分
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解：⑴y?2ax,y?x?2-----------------------------------5分
?2x??2?t??2(2)直线l的参数方程为?(t为参数),
2?y??4?t?2?2代入y?2ax得到t?22(4?a)t?8(4?a)?0,
22则有t1?t2?22(4?a),t1?t2?8(4?a)----------------8分
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