张掖市2012年4月高考诊断试卷
数学（理科）
本卷分第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.
1?i20121．复数z?的共轭复数是（ ）
1?iA．1?i B．?1?i
A．f?x??log2x?1（x?2） C．f?x??log2?x?1?（x?2）
C．1?i D．?1?i
2．已知函数y?f?x?的图象与函数y?2x?1（x?0）的图象关于直线y?x对称，则（ ）
B．f?x??log2x?1（x?0） D．f?x??log2?x?1?（x?0）
3．已知Sn是等差数列?an?的前n项和，且S1008?4?S1004，则S2012的值为（ ） A．2010
B．2011
C．2012
D．2013
4．已知函数f?x??2cos??x???（??0且0????）为奇函数，其图象与x轴的所有交 点中最近的两交点间的距离为?，则f?x?的一个单调递增区间为 （ ）
??????3??,? B．?0,?? C．?,? ?22??22?5．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB?AA1?4，点D是AA1的
A．??中点，则点A1到平面DBC1的距离是 （ ） A．2 C．
B．D．
D．??,2??
2 22 42 326．函数f?x??x?bx的图象在点A1,f?1?处的切线与直线3x?y?2?0平行，若数列
????1????的前n项和为Sn，则S2012的值为 （ ） ??f?n???A．
2009 2010B．
2010 2011C．
2011 2012D．
7．已知?OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，若OB?2，OC?OA??1???OB且
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????????2012 2013??????1，则OC?AB的取值范围是（ ）
A．???,0???2,??? C．???,0??
B．???,?2???0,??? D．??,?5??0,???
2?????????5,??
???8．已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，A1D与BC1 所成的角为
?，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ） 2B．
A．
6 315 51 2C．D．
3 29．在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1 名.并且日语和俄语都要求必须有男生参加.学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不 同的推荐方法共有 （ ） A．20种
B．22 种 C．24种 D．36种
?x?y?2?0x2?y2?10．设实数x,y满足?x?2y?5?0，则u?的取值范围是（ ）
xy?y?2?0?A．?2,? B．?2,? C．?,?
?2??3??23?11．已知三棱锥V?ABC中，VA?32，VB?4，VC?外接球，则V，A两点的球面距离是（ ） A．2?
B．
?5??10??510?D．?,4?
4?1???2，点E为侧棱VC上的一点，
VA?BE，且顶点V在底面ABC上的射影为底面的垂心.如果球O是三棱锥V?ABC的
3?? C．? D． 2212．定义在R上的奇函数f?x?满足f?x??f?1?x??1,f??x?1??f?x?，且当 ?5?2?2011?0?x1?x2?1时，有f?x1??f?x2?，则f??的值为（ ）
?2012?A．
6331715 B． C． D．
3281664第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
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1??213．二项式?2x??的展开式中的含x的项的系数是 .
x??35??14．若sin?????cos??cos?????sin??，且?是第三象限的角，则sin???54?为 .
6??的值 ?15．已知抛物线y2?2px（p?0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且
MF?4OF,?MFO的面积为43，则该抛物线的方程为 . x2y216．已知双曲线2?2?1（a?0,b?0）的左、右焦点分别为F1,F2，P为双曲线右支上一
ab点，且Q为PF2的中点，则该双曲线的离心率为 . PF2与圆x2?y2?b2切于点Q，
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分，每小题5分）
在锐角?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.且（1）求角A的大小及角B的取值范围； （2）若a?a?csinB?. b?csinA?sinC3，求b2?c2的取值范围.
18．（本题满分12分，每小题6分）
某大学对该校参加某项活动的志愿者实施“社会教育实施”学分考核，该大学考核只有合格和 优秀两个等次.若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分.假设该
校志愿者甲、乙考核为优秀的概率分别为
422、，乙考核合格且丙考核优秀的概率为.甲、 539乙、丙三人考核所得等次相互独立.
（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记在这次考核中，甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量?，求随机变量?的
分布列和数学期望.
19．（本题满分12分，每小题6分）
如图，已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90,E是棱CC1上的动点，F是AB的 中点，AC?BC?2，AA1?4.
（1）当E是棱CC1的中点时，求证：CF?平面AEB1； （2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A?EB1?B的大小
是45？若存在，求出CE的长，若不存在，请说明理由.
20．（本题满分12分，每小题6分）
已知?bn?是公比大于1的等比数列，它的前n项和为Sn， 若S3?14，b1?8，3b2，b3?6
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00成等差数列，且a1?1，an?bn??（1）求bn； （2）证明：?1??111??????（n?2）.
bn?1??b1b2??1??2??n?31??1???e（其中e为自然对数的底数）. ????a1??a2??an? 21．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）
x2y2已知椭圆C：2?2?1的左、右焦点分别为F1,F2，它的一条准线为x?4，过点F2的
ab2直线与椭圆C交于P、Q两点.当PQ与x轴垂直时，tan?F1PF2?.
3（1）求椭圆C的方程；
（2）若PF2???F2Q，求?PF1Q的内切圆面积最大时
正实数?的值.
22．（本题满分12分，第（1）、（2）小题各3分，第（3）小题6分）
已知函数f?x???????????12x??ae?4?x?2lnx，g?x??ax?2?lnx?（其中e为自然对数的底 2数，常数a?0）.
（1）若对任意x?0，g?x??1恒成立，求正实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当a取最大值时，试讨论函数f?x?在区间?,e?上的单调性；
e?1???2n1531?n3?n2?n成立. （3）求证：对任意的n?N，不等式lnn?12824*
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张掖市2012年4月高考诊断试卷数学（理科）参考答案
一、选择题： C ACCA DABCB BB 二、填空题：13．240 14． 三、解答题： 17．（1）由
7210 15．
y2?8x 16．5 a?csinBa?cb222?? 得 即b?c?a?bc b?csinA?sinCb?ca?c222?b?c?a1?，故A?.---------------------------------------------（3分） 得cosA?32bc2又因?ABC是锐角三角形，故故
??6?B??22?B?A
即
?2?B??3 得B??6
.-------------------------------------------------------------------------------（2分）
（2）由
a?2R，得2R?sinA223sin??2 依B?C?2?3得C?2??B 33于是b?c?4?sinB?sinC??2?1?cos2B?1?cos2C?
22??4????2B?? ?4?2?cos2B?cos2C??4?2?cos2B?cos??3????1?3????4?2?cos2B?sin2B ?4?2cos2B?????2?23??????2??4??B? 得?2B??依--------------------------------------------------（3分） 62333????时，即B?时，b2?c2取得最大值6. 知当2B?33?4??22?当2B?时，即B?时，b?c取得最小值5. 33222故所求b?c的取值范围是?5,6?.-------------------------------------------------------（2分）
18．（1）设丙考核优秀的概率为P，
依甲、乙考核为优秀的概率分别为可得
45、
23，乙考核合格且丙考核优秀的概率为
29.
12P?39，即P＝
23.---------------------------------------------------------------------（2分）
于是，甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率为1?（2）依题意??1.5,2,2.5,3
211144???.------（4分） 5334521?1?14?1?2118 P???2?????????2? P???1.5??????5?3?455?3?353454211?2?204?2?16 P???3??????-----------------（4分） P???2.5?????2?????5335?3?455?3?45高三数学（理科） 第 5 页 共 4 页
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