稳派教育新课改2012年5月高二年级摸底考试
数 学（理科）参考答案与评分细则
本试卷共4页，共22题。满分150分。考试时间120分钟。 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 C 5 A 6 B 7 B 8 A 9 D 10 D 1．【参考答案】 B 【考点分析】本题主要考查复数的概念以及基本的运算能力． 【解题思路】根据z??1?3i1?2i，可得z?，所以选B．
21?i2．【参考答案】D．
【考点分析】本题主要考查茎叶图的基础知识.
【解题思路】根据茎叶图的基本概念计算即可. 3．【参考答案】B
【考点分析】本题主要考查复合命题、充要条件和特称命题的否定等基础知识. 【解题思路】根据相关基本概念判断即可. 4.【参考答案】C
【考点分析】本题主要考查几何体的三视图、球的表面积等基础知识以及空间想象能力． 【解题思路】易得外接球的半径r?2，所以外接球的表面积等于8?
5.【参考答案】A
【考点分析】本题主要考查了双曲线与圆的几何性质和运用．考察了运算能力和推理能力．
4x【解题思路】右焦点(5,0)，渐近线y＝±，∴r＝4.
36.【参考答案】B
【考点分析】本题主要考查算法框图、三角函数的诱导公式、周期性. 【解题思路】该程序的功能是计算sin?3?sin2??3?sin2010?2011??sin的值，根据周期性，这个算式中每连续6个 33?3的值等于0，故这个值等于第一个值的和，即sin?．
32?sin7.【参考答案】B
【考点分析】本题考查函数的单调性和函数的零点以及计算和逻辑推理的能力.
【解题思路】因为函数f(x)是减函数，又因为0?x1?x0，所以： f(x1)?f(x0)?0 8.【参考答案】A
【考点分析】本题考查排列组合知识的基本运用.
33【解题思路】2A5?A4?2880
2009?3
9. 【参考答案】D
【考点分析】本题考查几何概型的运算和线性规划的知识以及数形结合的解题思想。
???y?0???【解题思路】由题意得???(x,y)|??所表示的平面区域为X轴上方的一个半圆，其面积为2????y?4?x??2?，由直线y?mx?2m和曲线y?4?x2有两个不同的交点，可得直线必过一个特殊点（-2，0），当
- 1 -
??22?得m=0，由点A落在区域M内的概率P(M)最大值为1时，可得m=1，所以实数m的取值范围为[0,1]，
过点（0,2）时它们围成的平面区域M的面积为??2，由点A落在区域M内的概率P(M)最小值为故选D. 10．【参考答案】D
【考点分析】本题考查函数、导数与不等式的知识，考查了对这些知识的灵活运用能力，以及对知识的转化能力．
f(x)xf'(x)?f(x)xf'(x)?f(x)??0，又x?0??0。即：【解题思路】由f(x)?xxx2'f(x1)f(x1?x2)f(x)?f(x)?在上单调递增，又，即：??0,??x,x?(0,??)???0?12?x?x(x?x)x??112f(x2)f(x1?x2) 即：(x1?x2)f(x1)?x1f(x1?x2) ① 同理：?x2(x1?x2)(x1?x2)f(x2)?x2f(x1?x2) ② ①+②?f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)
'11.【参考答案】99
【考点分析】本题考查抽样方法中的分层抽样.
＝0.17，所以x＝510. 3 000
高三年级人数为y＋z＝3 000－(523＋487＋490＋510)＝990， 现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，
300
应在高三年级抽取的人数为：×990＝99.
3 000
4
12．【参考答案】 3
【考点分析】本题考查二项式定理和定积分的相关知识以及运算的能力． 【解题思路】由题设可知
x?y?x2,xr13312
【解题思路】Tr＋1＝C()，令r＝3，得x的系数为Ck3＝，解得k＝4.由?得函数y＝x与ykk16
?y?4x?3＝4x－3的图象的交点的横坐标分别为1,3.
334122
所以阴影部分的面积为S＝?(4x－3－x)dx＝(2x－3x－x3)＝.
1331rk13．【参考答案】4
【考点分析】本题考查指对数式、基本不等式和等比中项的知识，考查了知识的熟练运用能力，以及对知识的转化能力．
ab【解题思路】因为3?3?3，所以a?b?1，
1111ba??(a?b)(?)?2?? ababab?2?2ba1ba??4，当且仅当?即a?b?时“=”成立．
ab2ab14. 【参考答案】7 15. 【考点分析】本题主要考查向量的线性运算和数量积的基本运算． 【解题思路】由a?b?c?0得c??(a?b)，
又∵ab?0，∴|c|2?|?(a?b)|2?(a?b)?(a?b)?a?2ab?b?a?b， ∴|b|2?|c|2?|a|2?42?33?7，即|b|?7．
- 2 -
2222n3?n2?2n15．【参考答案】（1）16；（2）
2【考点分析】本题主要考查了数列的应用，观察分析数据，总结、归纳推理数据规律的能力，以及运算转化能力.
【解题思路】令an为第n行所有数的和，由已知得an?nan?1a?2?4???2(n?1)?nn?1?n(n?1)， n?1n?1ann(n?1)an?1(n?1)(n?2)a1n3?n2?2n???????0?1，于是可求得an?将上式变形得： n2n?121216．（本小题满分12分）
【考点分析】本小题主要考查正、余弦定理，三角形中的三角恒等变换等基础知识，本小题主要考查推理
论证、运算求解等能力． 解：（Ⅰ）在?ABC中，b?c?a?2bccosA，又b?c?a?bc
2222221?,A??????????????????????????5分 23C2B?2sin2?1，∴1?cosB?1?cosC?1???????7分 （Ⅱ）∵2sin222?2?2??B)?1，cosB?coscosB?sinsinB?1， ∴cosB?cosC?1,cosB?cos(333 ∴cosA?
?31sinB?cosB?1，∴sin(B?)?1，
622 ∵0?B??，∴B??3,C??3 ???????????????????11分
∴?ABC为等边三角形。??????????????????????12分
17．
【考点分析】本题主要考察了频率分布直方图，离散型随机变量的期望与方差,以及离散型随机变量的概
率分布和数学期望，同时考查计算能力．
解：⑴设报考飞行员的人数为n,前三小组的频率分别为p1、p2、p3，则
?p2?2p1???????????3分， ?p3?3p1?p?p?p?(0.0375?0.0125)?5?123?1?p1?0.12512? 解得?p2?0.25?????4分 因为p2?0.25?????5分，
n?p?0.375?3 所以n?48??????????????????????????6分 ⑵由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为p?p3?(0.0375?0.0125)?5?所以X～（2，）????????8分
- 3 -
5??7分， 858?5??3?所以p(X?k)?C?????8??8?随机变量X的分布列为：
k2k2?k，k?0，1，2??????????9分
X 0 p 9 641 2 30 6425 64??????????????????????????11分
则EX?0?18.
93025555+1×＋2×= (或：EX?2??) ??12分 64646448433?(an?1)，n?N，所以Sn?1?(an?1?1)． 2233两式相减，得Sn?1?Sn?(an?1?an)，即an?1?(an?1?an)，
22解：（1）因为Sn?∴an?1?3an，n?N．------------------------------------------------3分 又S1??33(a1?1)，即a1?(a1?1)，所以a1?3． 22∴{an}是首项为3，公比为3的等比数列．----------------------------5分 从而{an}的通项公式是an?3n，n?N．--------------------------------6分 （2）由（1）知，对于任意的n?N，有k?an?4n?1成立， 等价于k???4n?1?4n?1??n?Nk?对任意的成立，等价于?n?．-----8分
3n?3?max4(n?1)?14n?58n?23n?1??1??1，n?N?，----------------10分 而
4n?13(4n?1)12n?3n3（注：也可以作差比较证明单调性，相应给分）
?4n?1?∴?n?是单调递减数列．----------------------------------11分 ?3?4?1?155?4n?1?k??∴?n?，实数的取值范围是[,??)．-------------12分 13333??max19．
【考点分析】本小题主要考查空间线面位置关系的基本定理、多面体体积计算、（理）空间向量的应用，
本小题主要考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力． 解：（1）以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间
直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,2,0)C(0,4,0)，E(0,0,2)，所以M(0,2,1).
- 4 -
∴BM?(?2,0,1)————————2分 又，OC?(0,4,0)是平面ADEF的一个法向量. ∵BM?OC?0即BM?OC
∴BM∥平面ADEF——————4分 （2）设M(x,y,z)，则EM?(x,y,z?2)， 又EC?(0,4,?2)
设EM??EC(0???1，则，x?0,y?4?,z?2?2?即M(0,4?,2?2?).——6分 设n?(x1,y1,z1)是平面BDM的一个法向量，则
OB?n?2x1?2y1?0 OM?n?4?y1?(2?2?)z1?0
2?2?) 取x1?1 得 y1??1,z1? 即 n?(1,?1,1??1??又由题设，OA?(2,0,0)是平面ABF的一个法向量，——————8分
??OA?n261∴ cos?OA,n??————10分 ??????2?62OA?n22?4?(1??)2??即点M为EC中点，此时，S?DEM?2，AD为三棱锥B?DEM的高， ∴ VM?BDE?VB?DEM?20、
【考点分析】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查解析几何的基本思想方法；考查分析问题、解决问题
14?2?2?————————————12分 33x2y2
解:(1)设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，P(x0，y0)为椭圆上任意一点，
ab→→
→
2
2
2
→
所以F1P＝(x0＋c，y0)，F2P＝(x0－c，y0)， 所以F1P·F2P＝x0＋y0－c，
x2y2b222c22220022
又因为2＋2＝1， 所以F1P·F2P＝x0＋b－2x0－c＝2x0＋b－c. ----------3分
abaa→
2
2
2
2
→→
→
2
因为0≤x0≤a，所以b－c≤F1P·F2P≤b，
??b＝1，
因此?22
?b－c＝－2，?
2
2
??b＝1，
所以?2
?c＝3，?
2
因此a＝4. ----------4分
2
所以椭圆方程为＋y＝1. ----------5分
4
(2)①若直线l不垂直于x轴，设该直线方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
x2
y＝kx＋m，??2由?x2
＋y＝1，??4
2
2
得x＋4(kx＋2kmx＋m)＝4，
2222
化简得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0，
- 5 -
2