8km4m－4
所以x1＋x2＝－2，x1x2＝2，
1＋4k1＋4k2
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝ m2－4k24m2?48k2m22
k?－2＋m＝2.----------7分 21＋4k1＋4k1?4k2→→因为AM⊥AN， 所以AM·AN＝y1y2＋(x1－2)(x2－2)＝0，
所以y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，
m2－4k24m2－416km所以2＋2＋2＋4＝0，
1＋4k1＋4k1＋4k去分母得m－4k＋4m－4＋16km＋4＋16k＝0，整理得
2
2
2
2
m522
即12k＋16km＋5m＝0，整理得(2k＋m)(6k＋5m)＝0，所以k＝－，或k＝－m，----------9分
26
??当k＝－时，l：y＝－x＋m＝m?－＋1?过定点(2,0)，显然不满足题意；
22?2?
55m?5??6?当k＝－m时，l：y＝－x＋m＝m?－x＋1?过定点?，0?.----------11分 66?6??5?
②若直线l垂直于x轴，设l与x轴交于点(x0,0)，由椭圆的对称性可知△MNA为等腰直角三角形， 所以
1－＝2－x0，化简得5x0－16x0＋12＝0，
4
mmxx20
2
6?6?解得x0＝或2(舍)， 即此时直线l也过定点?，0?.----------13分 5?5?21、（本题满分14分）
已知函数f(x)?x?ln(x?a)(a?R).
（1）若f(x)有两个不同的极值点，求a的取值范围；
（2）当a??2时，g(a)表示函数f(x)在[?1,0]上的最大值，求g(a)的表达式； （3）求证：
2
3n?111?lnn?1?1???4(n?1)231?,(n?N?)。 n【考点分析】本小题主要考查导数的运算法则，利用导数研究函数的单调性、极值、不等式的证明等基础知识，考查运算能力以及分类讨论的数学思想方法.
12x2?2ax?1?(x?a), 解：（1）（法一）f（x)?2x?x?ax?a＇2设g(x)?2x?2ax?1，??4a?8，当??0时a?22或a??2
若a?＇x)?2x?2，由f（1,，易知f＇(x)?0在x?a时恒成立，无极值点. x?a- 6 -
若a??2，设g(x)?2x2?2ax?1的两根为x1,x2且x1?x2。
?x1?x2?a?0???1,?a?x1?x2,故有
xx?12?2?x ＇f（x) (a,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,??) ? 0 - 0 +
∴当a??2时，函数f(x)有两个极值点。????4分
12x2?2ax?1?(x?a),???1分 （法二）f（x)?2x?x?ax?a＇设g(x)?2x2?2ax?1，f(x)有两个极值点?g(x)?0有两个大于a的不等实根x1，x2(x1?x2)
???4a2?8?0????g(a)?2a2?2a2?1?0?a??2∴当a??2时，函数f(x)有两个极值点。????4分 ?a?a?2??x1?x2?a??2?1（2）当a??2时，由（1）知??，?x1??1?x2?0
0?xx??112?2??f(x)在??1,x2?为减函数，在?x2,0?为增函数， ?f(x)在??1,0?上的的最大值为f(?1)或f(0)
f(?1)?1?ln(?1?a),f(0)?ln(?a)，----------6分 设h(a)?f(?1)?f(0)?1?ln1?aa?1?lne， aaa?1111?1?e?(1?)e?e?1，故h(a)?0， ?a??2????,0?，?aa2a?2??g(a)?1?ln(?1?a)(a??2).----------8分
2（3）由（2）知f(x)?x?ln(x?2)在??1,0?上有最大值g(?2)?1，且仅在x??1时取得.取
n?1n?12n?1)?ln(??2)?1 ???1,0?，n?N?，则(?nnnn?1n?122n?121)?1?()???2----------10分 即ln(nnnnn2x??
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法一：ln(n?121321221n21)??2，lnln??ln??2. ，?，，??22nnn222111n?1n?1(n?1)相加得：ln(n?1)?2(1?111111111????)?(1?2?2???2)?2(1?????)? 23n23n23n(1?111113n?1，----------12分 ??)?2(1?????)?2?3n(n?1)23n2(n?1)?3n?1111?ln(n?1)?2(1?????) (n?N?)，
2(n?1)23n3n?111?lnn?1?1???4(n?1)231?,(n?N?)----------14分 n即：
法二：用数学归纳法证明：
当n?1时，易知成立，----------9分 假设当n?k时，不等式成立，即?3k?1111?lnk?1?1?????,(k?N?)成立----------10分
4(k?1)23kn?k?1时，?3k?41111?lnk?2?(1??????,)
4(k?2)23kk?1=
3k?11113k?43k?11 ?lnk?1?(1?????)?lnk?2?lnk?1???4(k?1)23k4(k?2)4(k?1)k?1=
?3k?11111?k?221 ?lnk?1?(1?????)??ln???4(k?1)23k2?k?1k?1(k?1)(k?2)?3k?11111?k?2?21???lnk?1?(1?????)??ln??? 2??4(k?1)23k2?k?1?k?1(k?1)??n?121)??2，(n?N?)） nnn<
?0 （由归纳假设及ln(∴当n?k?1不等式也成立，故得证。----------14分
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