混沌及其应用
作者 殷春雷
（玉溪师范学院物理与教育技术系2003级本科1班 云南 玉溪 653100） 指导教师 高斌
摘要：本文阐述了混沌的概念、混沌的识别、混沌的特征和研究方法，综述了混沌理论在
工程科学、计算机通信、生物医学、社会经济学等领域的应用。
关键词：混沌；识别；特征；研究方法；混沌应用
引言
在混沌理论出现之前，人们普遍认为世界上只存在两种系统，他们的行为模式要么受到严格规律控制，就像钟表一样具有严格的周期性；要么就像我们掷色子一样纯粹的随机行为。后来人们逐渐认识到还有很多系统用这两种行为模式都无法解释，如天文学上的三体问题，天文学家发现太阳系并非按照牛顿定律精确地运转，尤其是土星的卫星以及位于金星和木星之间小行星带上的小行星，几个世纪以来天文学家一直把它们看作是一种精确运动，但实际上，天文学家们从来都没能精确预知他们的具体运动状态，两个星体之间的相对运动很好理解，也能确定他们的运动状态，三个星体或更多星体的时候，人们就很难精确计算他们的运动状态了，这就是著名的三体问题，根据牛顿经典力学根本无法解释[1]。随着认识的不断深入，人们逐渐认识到介于两者之间还存在一种貌似随机的确定性系统，即混沌系统。混沌，这个举世瞩目的学术热点，正受到世界的广泛关注。最早出现的混沌概念，是美国马里兰大学应用数学家约克在1975年的一篇论文中，混沌是指在决定论物理规律下出现的随机行为[2]。自20世纪70年代以来，混沌已经发展成为一门新兴学科，它是非线性科学最重要的成就之一，它揭示的有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，是20世纪继相对论和量子力学问世以来物理学的第三次革命[3]。随着研究的深化，混沌正超越原来数理学科的狭窄环境，走进更加广阔的科学世界，混沌不仅是理论而且变成了方法。
如今混沌这个科学名词已经渗透到各个领域中，成为一门新的学科，并且在各个领域中已得到广泛应用。本文以下将介绍混沌的概念、混沌的识别、混沌的特征、混沌的研究方法和研究混沌现象的意义，探讨混沌在工程科学、计算机通信、生物医学、社会经济学等领域的应用。
1.混沌
1.1.混沌的概念
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非线性混沌理论的基本思想起源于20世纪初,形成于20世纪60年代后,发
展壮大于20世纪80年代。混沌最初进入科学领域是与精确著称的数理科学无缘的,混沌主要是一个天文学中与宇宙起源有关的概念,它来源于神话传说与哲学思辨，混沌系统的最大特点,就在于系统的演化对初始条件十分敏感,因此从长期意义上看,系统的未来行为是不可预测的。混沌一词由李天岩和约克1975年首先提出,并给出了一种数学定义[4]：
设I=[a，b]，f(?)是I到I的连续自映射，P(f)表示f的周期点，PP(f)表示周期点的周期构成的集合，?(f)表示f的?极限点构成的集合，即
PP(f)?{n?1|f有n周期点}，
?(f)?{X|X?I且存在x?I,X??(x,f)}。
定义（1）：设f是线段I到自身的连续映射，若满足下列条件则称f在I中是混沌的。
（A） PP（f）无上界；
（B） 存在I中不可数子集，使得： （B1）limfn(?)?fn(y)?0,??,y?S,
n??n??（B2）limfn(?)?fn(y)?0,??,y?S, （B3）limfn(?)?fn(P)?0,???S,?P?P(f),
n??其中??y,f0(?)??,f1(?)?f(?),?,fn?1(?)?f(f(?)),n?N,n不可数子集S
称为f的混沌集，不满足B3的点?称为f的渐进周期点。
定义（2）：设f是线段I到自身的连续自映射，若满足下列条件，则称f在I中是混沌的：
（A） 存在I中不可数子集S，使得： （A1）limfn(?)?fn(y)?0,??,y?S；
n??n??（A2）limfn(?)?fn(y)?0,??,y?S； 其中??y，fo(?)??,f1(?)?f(?),?,fS称为f的混沌集（S中不包括周期点）。
在现代,混沌被赋予了新的涵义,混沌是指在确定性系统中出现的类似随机的过程,其来自非线性[5]。另一种定义则为：在一个非线性动力学系统中，随着非线性的增强，系统出现的不规则的有序现象[6]。
n?1(?)?f(f(?)),n?N, 不可数子集
n1.2混沌的识别
无论是寻找混沌现象，还是制造混沌系统都必须确定是否发生了混沌现象。判断是否出现混沌现象，通常是通过实验来确定是否观察到混沌轨迹。但实验无法弄清这一轨迹是有很长周期解，还是非周期解，于是就有了建立模型。建立了模型后我们是如何确定系统是混沌的？那我们就要知道如何识别混沌。下面我们
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来介绍如何识别混沌，混沌识别有定性分析和定量分析两种[7]。
定性分析是用相图、功率谱、自相关做定性分析来识别混沌。混沌相图有奇怪吸引子，相图的纵坐标变量为横坐标变量的导数或时延变量，相图按周期采样后得到的相点图，称为Poincare图。相图最终收缩(称为吸引)形成的形态奇异的相轨或相点集，称为奇怪吸引子。它具有全局与局部的自相似结构，即所谓分形结构。混沌功率谱为连续谱，功率谱是指单位频率上的能量，它反映其能量在频率上的分布。是分析时间序列的常用方法，它可以直观地揭示离散数据系列的周期性，通常，不同的时间序列的功率谱是不同的。周期性序列的功率谱具有明显的周期性，而非周期混沌运动的功率谱则像噪声过程一样是连续的，并且混沌时间序列的频率当超过某一定值后，功率谱随频率指数衰减，时间序列的周期表现为稠密。功率谱的横坐标是频率(Hz)，纵坐标可以是均方值、均方根值或对数值(dB)，混沌功率谱具有连续谱线。混沌时具有衰减的相关系数并趋于零。
定量识别是混沌时最大Lyapunov指数为正。Lyapunov指数谱是用以表征奇怪吸引子中相轨间指数分离快慢的指标，其中最大的一个称为最大Lyapunov指数。它若为正，则为混沌。混沌吸引子有分(数)维，分数维即分维是奇怪吸引子的特征之一，相空间被轨道充满的程度用维数加以度量。混沌时M elnikow函数有简单零点，M e1nikow函数为Poincare图中稳定流形(相点经过的曲线)与不稳定流形之间距离的度量，一旦为零，即有混沌。
1.3.混沌的特征
随着科学技术的发展，人们对混沌的认识也逐渐加深。科学家们在混沌的研究过程中找到了混沌的特征，普遍认为混沌具有以下几点特征[8]。
（1）非线性。要出现混沌现象首先保证这个系统是非线性的，如果这个系统是线性的，则不可能出现混沌现象。但是需要值得强调的是并不是非线性系统就会产生混沌现象。
（2）确定性。尽管我们从混沌系统表面上看到的是随机的，下一步结果好像无法预见，其实不然，我们说混沌是随机的现象，但混沌系统在将来的某个时候的状态是确定的而不是随机的。我们可以按照某种规则预知系统某一时刻的行为。即我们常说的混沌是一种貌似随机的确定性行为。
（3）对初始条件的敏感依赖性。在混沌系统中人为的微小的改变一下初始条件，则系统的最终状态可能会出现巨大的差异。很多学者把这个特征作为混沌的本质特征，在混沌系统中的好多混沌现象也是在这一特征中发现的。
（4）貌似随机性。混沌和随机是两个不同的概念，大家应该注意的是“貌似”，而不是等同于随机。实际上混沌系统是确定的，即无序中的有序。
非线性系统里只有对初始条件敏感的依赖性并不能说明这个系统是混沌的，
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这个系统还必须具备不规则或貌似随机的行为才能称为混沌系统。
1.4.混沌的研究方法
80年代以前人们对混沌的研究主要是集中在计算机实验(如Lorenz、Logistic和强迫Brusselor系统等)和物理实验(如Duffing振动、浅水波的强迫振动、非线性电路中的混沌等)上，模拟、观测、再现混沌行为。而所借助分析的数学是分岔理论和突变理论。80年代以来，人们则着重研究混沌的结构，而所借助的数学是多标度分形理论和符号动力学[9]。分形这一概念之所以能在各个领域内得到应用，首先是它反映了与几何相关的一类新的动力学标度模型；其次它还揭示了一些看起来是毫不相关的自然现象中的某种相同构造原则，然而，分数维除了标志着该结构的自相似构造规律外，并不能完全揭示出产生相应结构的动力学特征。为此，Grassberger、Hentschel和Procaccia提出了重构动力学系统的理论和方法[10]，使混沌问题的研究跳出了理论模型研究的局限，大大缩短了混沌理论与实际应用之间的距离，使混沌理论开始步入一个实际应用阶段。
1.5.研究混沌现象的意义
混沌现象发现以来，对它的研究已经成为一个重要的物理分支（非线性物理学中的一个主要部分）。而混沌吸引子具有分维数的分形结构。混沌现象的发现告诉人们，即便方程是完全确定的，它的解也可能是敏感依赖初始条件而完全不确定的，确定性和随机性之间并没有不可逾越的界限。混沌理论的研究也带来了新的研究方法。过去人们研究问题是着眼于方程的建立、求解方程。而非线性系统一般不能积分，无法精确求解，而且解对初值非常敏感，根本不存在确定的解，只能计算吸引子的个数、维数等，从另一更高的层次来讨论系统的性质。混沌的发展对哲学也有深刻的意义，对于非线性系统来说，从倍周期分岔进入混沌，在进入另一种奇数周期的更快分岔，在进入分岔?，这是一种否定之否定的过程，而且，这种非平衡态混沌在变换空间尺度上体现了不变性，含有一种自相似结构。它在一个尺度上表现的随机现象会以同样形式在不同尺度上重复出现，每一次都会产生一些新的丰富内容，又保持分维不变等，这中间充满辩证法。而且混沌的研究成果对我们的社会生活很有帮助[11]。
2.混沌的应用
混沌在现实世界随处可见，但直到上世纪混沌现象才被人们发现。伴随电脑的出现和电脑技术的发展为研究混沌创造了有利条件。到了本世纪混沌已取得很大发展，非线性问题涉及到所有领域，自然科学、人文科学、数学和哲学，几乎无所不在，现代不同学科的相互综合渗透交叉发展的特征深刻地反映在非线性科学的发展上，各种学科的非线性问题的处理在近二十多年间，己经成为学科发展
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的主要生长点。20年来，非线性问题的研究产生了许多分支，如混沌，分形，耗散结构，协同学，负熵论，突变论，元胞自动学等，其中混沌与分形理论具有全局性影响的。对国际上1257种学术重要期1980午后期以来发表的论文的统计，与混沌与分形理论有关的占37. 5%，涉及到的领域包括哲学、数学、物理、化学、材料科学、电了科学技术、表面科学、计算机科学、生物学、医学、农学、天文学、气象学、地震、地质学、城市规划、经济学、历史学、人口学、情报学、商品学、电影美术、思维、音乐、艺术、人文科学（包括政治学），无所不及。可见各门学科的研究都十分重视这一理论的影响[6]，并且已经应用到许多领域。
2.1.工程科学
混沌工程学是一门利用混沌实践及其理论基础的工程非线性科学。混沌在工程上的应用从上世纪90年代开始兴起，1989年Tom Carroll创造了第一个同步混沌电子电路，在这两个混沌的电路中混沌的电压和电流信号总是保持一致。随后发展非常迅猛，几乎覆盖了国民经济建设的各个领域[8]，如震动控制、电路稳定、化学反应、激光、流场、航空航天、车辆工程、抗震、核能、石油管道、海洋工程、地球物理学、神经网络以及模态识别等。混沌在这方面国内外也涌现出一批优秀科研成果，日本松下电器产业株式会社在上世纪90年代中期申请了一系列利用混沌技术的专利，大多是家用电器上相关技术的改进。1993年，Gold star公司宣布他们生产了世界上第一个革命性的混沌产品——基于混沌原理设计的混沌洗衣机。这款新式洗衣机的推出，让人们惊奇地发现，与常规洗衣机相比混沌洗衣机能把衣服洗得更干净，而且普通洗衣机会把衣服洗皱的问题在混沌洗衣机中也得到了很大程度上的解决。随着这款混沌洗衣机的成功推出，混沌应用研究在许多领域中变得异常活跃，新的应用成果不断涌现，之后不久混沌洗碗机、混沌空调等产品也相继问世，到最近混沌应用进人社会领域。英国阿伯丁大学的学者研究发现，疲劳裂纹的增长也会引发混沌现象，逐渐增长的疲劳裂纹的张开、合拢会使构件的刚度不断产生变化，研究结果表明疲劳裂纹的出现会使系统的动态响应产生混沌现象[12]。中国农业大学的龙运佳教授发明了混沌激振器，在偏心套中安装偏心转盘以产生混沌振动，与常规激振器相比，它节省能源、效率高。1995年，他还申请了混沌振动台的技术专利。1998年，浙江大学王林翔、路勇祥等人发明了将流体进行混合的混沌混合器[8]。
2.2.地理学
混沌在基础科学研究方面也取得了很大的进步，地理学上的混沌研究范围很广，早在60年代，L、F、Richardson提出“大不列颠海岸线有多长的问题”，通过对海岸线长的计算人们发现：对海岸线的长度求得越精细，海岸线的结构则会出现自组织混沌现象[13]。到了如今混沌在降雨量、河流流量、温度、风压、日照
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