对于多变量函数的泛函变分问题, 康托洛维奇提出设泛函的自变函数为满足边界条件的函数系列?k( x1，x2，…xm?1)及待定函数Ak(xm?1)，将变分问题的近似解写成：
u(x1,x2,?,xm)?其一级近似式为
?Ak(xm)?k(,x,?,xm121n?1)
u(x1,x2,?,xm)?A(xm)?(1,x2,?,xm?1)
将式中右端两函数之一选定为满足边界条件的某种函数，由泛函变分极值条件得到关于另一函数的常微分方程，进而求出此方程的近似解，便得到问题的一级近似解。
设有两个自变量和两个自由函数的泛函具有：
?[u(x,y),v(x,y)]???F(x,y,u,u?,?,u(n),v,v?,?,v(n))dxdy取u,v的一级近似表达式为：
u(x,y)?Au(x)?u(y)??v(x,y)?Av(x)?v(y)?
式中
?u?y?，
???y? 为满足y 方向边界条件的试函数。将式(13)代入式(12)并
沿y积分有：
?(x),?,Au(n)(x),Av(x),Av?(x),?,Av(n)(x))dx???(F(x),Au(x),Au
使泛函极值?π=0实现的两个函数A?(x)和AA?(x)应当满足欧拉方程和相应的边界条件：
dd2FAu?FAu??2FAu?????(?1)ndxdxdd2FAv?FAv??2FAv?????(?1)ndxdx?dnF?0(n)??dxnAu?ndFA(n)v?0?n?dx?
显然，上式为常微分方程。一般来说，求解式(15)的过程较复杂，特别是对于二阶以上近似解就更为复杂，为此，本文选取满足边界条件的试函数：
?Au(x)??aiAu(x)??i?1?rAv(x)??biAv(x)??i?1?
将式(16)代入式(15)，得到包含有待定关系ai 和bi的残值Ra和Rb，取权函数Wair和Wbi使得残值在某种平均意义上等于零。
?WaiRadx?0???WbiR?bdx?0??
据此，可得到用于求解待定系数ai、bi (i = 1, 2,…, r ) 的代数方程组。最
后得到问题的近似解。
现以x方向为例，给出适合于不同边界条件的试函数。 (1) 简支——简支
x?0,x?a:W?2Wbb?Ws?0,?x2?0
试函数:
u?b(x)?us(x)?sinmax,(m?1,2,?)
(2) 固端——固端
x?0,x?a:WWbb?Ws?0,??x?0
试函数:
ub(x)?1?cos2m?ax,us(x)?sinm?ax
(3) 固端——简支
试函数:
x2x3ub(x)?3x4x3x2xa2?5a3?a4,us(x)?a3?a2?2a(4) 固端——自由
x?a:?2Wb?0,?3W?W?x2?x3?0,s?x?0
试函数:
ub(x)?1?cos(5) 简支——自由
试函数：
(2m?1)?m?x,us(x)?sinx2aa
ub(x)?
1. 有限元法
xm?,us(x)?sinxaa
在板壳有限元分析中，位移型非协调元薄板单元得到成功的应用，解决了大量的工程问题。随着各种新型材料的出现和广泛应用，构造计入横向剪切变形的板单元是非常必要的。在位移型单元研究方面，已经提出了一些厚薄板通用的单元。
以Reissner- Mindlin理论为基础，构造了一种计入横向剪切变形的矩形板单元；在位移模式中，挠度和转角采用不同阶次的插值函数。数值算例表明，该单元对工程中的薄板、中厚板均能得到令人满意的数值结果。 1. 有限元公式 基本符号与关系式
?f????W?x?y?? 广义位移向量
TT???????KKK???K??xyxyxy???? 广义应变向
TTT?K?曲率和扭率 ???几何关系
式中
????X?Y?? ?KxKyKxy??,?????TTT?M????MxMyMxyQxQy?? 广义应力向量
???L???f?
??0???0????L????0??????x???????y弹性关系 式中
???x0???y?10?0??????y??????x???0????1??
?M????D?????
?Db??D????0??0??;Da????0??10?;1???0?2?
??13?Et??D???b?2?12(1??)??0?
??Da???5Gt6?10???.?01?其中,E,G为弹性模量,μ为泊松比, t为板厚。 2. 单元位移模式
图1所示为计入横向剪切变形的板单元。
??????W结点位移向量为iei?xi?yi??T(i?1,2,3,4)T
TTTT??????????234??1单元结点位移向量
引入无量纲坐标??x/a,??y/b 单元的位移场取为
?W(x,y)???FW????????X(x,y)???F??????????Y(x,y)???F???????
式中
2222??;??F?1??????????W?????F?????1??????;???????????1?2?3?4?5?6?7?8??;?????????1?2?3?4??;TTT
要确定式中广义坐标，仅有结点条件是不够的，为此提出
?????????1?2?3?4??.?5??a2?2,?7??a2?4,?6??b2?3,?8??b2?4
利用结点位移条件，可得：
?f???i?14??Ni????i????N?????e?Ni???N??0?i????0NxiNi0Nyi??0??Ni??Ni?NxiNyi 3. 单元的应变和应力
?1(1??i?)(1??i?)?4?a??(1??i?)(?2?1)?8??b2?(1??i?)(??1)?8?
单元的应变式中
???????Bi????i????B?????i?14ee
??Bi?????L????Ni??
单元的应力式中
?M????D??????????Si????i????S?????i?14ee
??Si?????D????Bi??
4. 单元刚度矩阵 单元的刚度矩阵为：
??k???e????B??T??D????B??dxdy