习题七
1.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.
【解】E(X)?np,E(X)?A1?X,因此np=X
所以p的矩估计量 p??Xn 2.设总体X的密度函数
?f（x,θ）=?2??2(??x),0?x??,
??0,其他.X1，X2，…，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】E(X)?2x(??x)dx?2?x2x3????2??0?2???2?3??0?3,
令E(X)=A1=X,因此
?3=X ^所以θ的矩估计量为 ??3X.
3.设总体X的密度函数为f（x，θ），X1，X2，…，Xn为其样本，求θ的极大似然估计.
（1） f（x，θ）=???e??x,x?0,?0,x?0.
??x??1（2） f（x，θ）=?,0?x?1,?0,其他.
nnn【解】（1） 似然函数L??f(x,?)??n?xii??n??e??e?xii?1
i?1?e?i?1ng?lnL?nln????xi
i?1dgdlnLnn由d??d?????xi?0知 i?1???nn
?xii?1所以θ的极大似然估计量为???1X.
1
(2) 似然函数L???n?x?ii?1n?1,0?xi?1,i=1,2,…,n.
nlnL?nln??(??1)ln?xi
i?1ndlnLn由??ln?xi?0知
d??i?1????nln?xii?1n??n?lnxi?1n
i???所以θ的极大似然估计量为 ?n?lnxi?1n
i5.随机变量X服从［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，
求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) E(X)??2,令E(X)?X，则
??2X且E(??)?2E(X)?2E(X)??, ???2x?2?0.6?1.2且???2X是一个无偏估计. 所以θ的矩估计值为??1?(2) 似然函数L??f(xi,?)???,i=1,2,…,8.
???i?1显然L=L(θ)↓(θ>0)，那么??max{xi}时，L=L(θ)最大,
1?i?888所以θ的极大似然估计值??=0.9.
因为E(??)=E(max{xi})≠θ,所以??=max{xi}不是θ的无偏计.
1?i?81?i?84.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下： 序号 收益率 1 2 3 -0.12 4 -0.09 5 -0.13 6 -0.3 7 0.1 8 -0.09 9 -0.1 10 -0.11 0.01 -0.11 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】
x??0.09 43n?9 s?0.1018 9
??x??0.094. EXxi2?)]2?A,即有 ?2?[E(X 由E(X)?D(X)?[E(X)],E(X)?A2??知?2i?1n222n 2
101?)]???A2?[E(X?[?Xi2?10(X)2] 10i?12??于是 ?9s?0.9?0.10189?0.0966 10所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.
? =k6.设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，E（X）=μ，D（X）=σ，?2
2?(Xi?1n?1i?1?Xi)2,
?为σ2的无偏估计. 问k为何值时?【解】令 Yi?Xi?1?Xi,i=1,2,…,n-1,
则 E(Yi)?E(Xi?1)?E(Xi)?????0,D(Yi)?2?2,
2
??E[k(于是 E?2?Yi?1n?12i)]?k(n?1)EY12?2?2(n?1)k,
?2)??2,即2?2(n?1)k??2时, 那么当E(?有 k?1.
2(n?1)7.设X1，X2是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本
?1??211311?2?X1?X2;??3?X1?X2; X1?X2;?334422?1,??2,??3都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 试证??1)?E?【证明】（1）E(??2)?E(?1?2121?2X1?X2??E(X1)?E(X2)??????,
3?3333?313E(X1)?E(X2)??, 4411?3)?E(X1)?E(X2)??, E(?22?1,??2,??3均是μ的无偏估计量. 所以?45?2?2??1?2?1)???D(X1)???D(X2)?X??(2) D(?,
99?3??3?5?2?1??3??2)???D(X1)???D(X2)? D(?,
448????
3
2222
?2?1??3)????D(X1)?D(X2)?? D(?,
2?2?8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，
测得其长度（单位mm）如下：
14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,
2x?14.95,ua?u0.25?1.96,,
2μ的置信度为0.95的置信区间为
???x?u?/2???(14.95?0.1?1.96)?(14.754,15.146).
n??9.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，
且置信区间的长度不大于L？
【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为?x?u?/2?????, n?于是置信区间长度为2??u?/2, n4?2(u?/2)22??u?/2≤L,得n≥那么由 2Ln10.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）：
64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 【解】x?76.6,s?18.14,??1?0.95?0.05,n?20,
t?/2(n?1)?t0.02(519?)2.093,2??/2(n?1)??220.025(19?)32.8?520,.975?(19)
8.907(1) μ的置信度为0.95的置信区间
s18.14????x?t(n?1)?76.6??2.093a/2?????(68.11,85.089)
n20????(2)?的置信度为0.95的置信区间
2
?(n?1)s2(n?1)s2??191922?,??18.14,?18.14?2????(190.33,702.01) 28.907????/2(n?1)?1??/2(n?1)??32.852
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11.设总体X~f(x)=??(??1)x?,0?x?1;其中???1?0,其他.
X1,X2,…,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.
【解】(1)
E(X)????1??xf(x)dx??(??1)x??1??10dx???2, 又
X?E(X)???1??2, 故
???2X?11?X
所以θ的矩估计量 ???2X?11?X. (2) 似然函数
n?L?L(?)??f(x?(??1)ni)???nx?i 0?xi?1(i?1,2,?,n)i?1. i?1??0其他取对数
nlnL?nln(??1)???lnxi(0?xi?1;1?i?n),i?1dlnLnd??n
??1??lnxi?0,i?1所以θ的极大似然估计量为????1?n?n.
lnXii?1?12.设总体X~f(x)= ?6x??3(??x),0?x??;
??0,其他.X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本
（1） 求θ的矩估计量；
（2） 求D(??). 【解】(1) E(X)??????xf(x)dx??6x20?3(??x)dx??2,
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