令 EX?X??2,
??2X. 所以θ的矩估计量 ??)?D(2X)?4D(X)?(2)D(?又
4DX,， n?E(X)??于是
26x3(??x)0?36?23?2dx??,
20103?2?2?2D(X)?E(X)?(EX)???,,
1042022所以
?)??. D(?5n13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为
2?2e?2(x??), x??;f(x,θ)= ?
0,x??.?其中θ(θ>0)为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值，求θ的极大似然估计
值.
【解】似然函数
??2(xi??)?2n?e?i?1L?L(?)???0?ni?1nxi?0;i?1,2,?,n;其他.
lnL?nln2?2?(xi??),xi??;i?1,2,?,n,dlnL?2n?0知lnL(?)?, d???min{x}时lnL(??)?maxlnL(?) 那么当?由
1?i?ni??0??min{x} 所以θ的极大似然估计量?i1?i?n14. 设总体X的概率分布为 X P 0 1 2 3 θ2 2θ(1-θ) θ2 1-2θ 其中θ(0<θ<
1)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估2计值和极大似然估计值. 【解】
6
??3?x(1)E(X)?3?4?,令E(X)?x得?4 8xi又 x???2i?18??所以θ的矩估计值?83?x1?. 44（2） 似然函数L??P(x,?)?4?6i(1??2)(1?2?)4.
i?1lnL?ln4?6ln??2ln(1??)?4ln(1??),dlnL6286?28??24?2d????1???1?2???(1??)(1?2?)?0,解6?28??24?2?0
得 ?7?131,2?2. 由于
7?1312?12, 所以θ的极大似然估计值为 ???7?132. 15.设总体X的分布函数为
?F（x,β）=?????1?,x??, ?x?0,x??.其中未知参数β>1,α>0，设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本
（1） 当α=1时，求β的矩估计量；
（2） 当α=1时，求β的极大似然估计量； （3） 当β=2时，求α的极大似然估计量. 【解】
??当α=1时，f(x,?)?F1?,x?1;x(x,1,?)??x??1
??0,x?1.?2?2当β=2时, f(x,?)?F1?,x??;x(x,?,2)??x3
??0,x??. 7
(1) E(X)?????x?1dx??1??x1????1????1
??令E(X)?X,于是?X, X?1X. X?1??所以?的矩估计量?(2) 似然函数
L?L(?)??i?1n?n?n?(??1)????xi?,xi?1,(i?1,2,?,n);f(xi,?)????i?1??0,其他.?nlnL?nln??(??1)?lnxi,i?1
dlnLnn???lnxi?0,d??i?1??所以?的极大似然估计量?n.
i?lnxi?1n(3) 似然函数
nL??i?1?2n?2n,xi??,(i?1,2,?,n);?n3??? f(xi,?)????xi???i?1??0,其他.?显然L?L(?)?,
??min{xi}时,L?L(??)?maxL(?) , 那么当?1?i?na?0??min{xi}. 所以?的极大似然估计量?1?i?n16.从正态总体X~N（3.4，62）中抽取容量为n的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）
内的概率不小于0.95，问n至少应取多大？
?(z)??z ??z??1.28 0.9 z??1?t2/2edt 2π1.96 0.975 2.33 0.99 1.645 0.95 X?3.4?62?【解】X~N?3.4,?,则Z?~N(0,1),
6/nn??
8
5.4?3.4??1.4?3.4?Z?P{1.4?X?5.4}?P??6/n??6/n??P??n?Z??3??????n??????3??于是??n??3?n??2??n??1?0.95???3??3?
n?n?则?1.96, ?0.975?3?3?∴ n≥35.
17. 设总体X的概率密度为
??,?f(x，θ)=?1??,?0,?0?x?1,1?x?2, 其他.其中θ是未知参数（0<θ<1）,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,…,xn中小于1的个数.求： （1） θ的矩估计；
（2） θ的最大似然估计. 解 (1) 由于
EX??????xf(x;?)dx???xdx??(1-?)xdx
0112133???(1??)???. 22233???X，解得???X， 22所以参数?的矩估计为
令
???(2) 似然函数为
3?X. 2L(?)??f(xi;?)??N(1??)n?N，
i?1n取对数，得
lnL(?)?Nln??(n?N)ln(1??),
两边对?求导，得
dlnL(?)Nn?N??. d??1??dlnL(?)N?0,得 ??， 令
d?n所以?的最大似然估计为
9
???
N. n 10