班级： 姓名： 学号： 课题：二维图像的小波降噪与压缩
变换CWT，变换式为：
WTf?a,b???f,?a,b??1aRt?ba?f?t?????dt (3.1.2)
当小波的容许性条件成立时，其逆变换为：
f?t??其中C?????w?w21C????da2??a?????b? (3.1.3) WTf?a,b????t?adbRdw??为??t?的容许性条件。
另外，在小波变换过程中必须保持能量成比例，即:
??WTf?a,b?daa2RR2db?C??f?x?dx (3.1.4)
2R由CWT的定义可知，小波变换和傅立叶变换一样，也是一种积分变换，其中可见小波变换对函数f?t?在小波基上的展开具有多分辨率WTf?a,b?为小波变换系数。
的特性，这种特性正是通过缩放因子a和平移因子b来得到的。根据a、b的不同，可以得到小波变换下不同时、频宽度的信息，从而实现对信号f?t?的局部化分析。连续小波变换具有以下重要性质：
① 线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。 ② 平移不变性：若f?t?的小波变换为WTf?a,b?，则f?t???的小波变换为
WfT?a,b???。
③ 伸缩共变性：若f?t?的小波变化为WTf?a,??，则f?ct?的小波变换为
1cWTf?ca,c??,c?0。
④ 自相似性：对应于不同尺度因子a和不同平移因子b的连续小波变换之间是自
相似性的。
⑤ 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度〔redundancy〕，小波变换的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：
1）由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号f?t?的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换则是一一对应的。
2）小波变换的核函数即小波基函数?a,b?t?并不是唯一的，即存在许多可能的选择（如：它们可能是非正交小波，正交小波，双正交小波，甚至允许是彼此线性相关
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的)。
小波的选择并不是任意的，也不是唯一的。它的选择应满足定义域是紧支撑的，即在一个很小的区间之外，函数值为零，函数具有速降特性，以便获得空间局域化。另外，它还要满足平均值为零。也就是说，小波应具有振荡性，而且是一个迅速衰减的函数。
一个一维函数f?t?的连续小波变换是一双变量的函数，变量比f?t?多一个，因此称连续小波变换是超完备的，因为它要求的存储量和它代表的信息量都显著增加了。对于变量超过一个的函数来说，这个变换的维数也将增加。
若f?t?是一个二维函数，则它的连续小波变换是：
WTf?a,bx,by??1a??????????f?t1,t2???x?bxa,y?bya?dxdy (3.1.5) ?dbdb (3.1.6)
xy其中，bx，by表示在两个维度上的平移，二维连续小波逆变换为： f?x,y??1C????0????daa3??????WTf?a,bx,by???x?bxa,y?bya同样的方法可以推广到两个或两个以上的变量函数上。
3.2 离散小波变换
计算机中的图像信息是以离散信号形式存放的，所以需要将连续小波变换离散化。而最基本的离散化方法就是二进制离散，一般将这种经过离散化的小波及其变换叫做二进小波和二进变换。需要注意的是这里的离散化都是针对连续的尺度因子a和连续平移因子b的，而不是针对时间t的。这儿限制尺度因子a总是正数。 3.2.1 尺度与位移的离散化
对连续小波基函数?a,b?t?尺度因子a和平移因子b进行离散化可以得到离散小波变换WTf?a,b?，从而减少小波变换系数的冗余度。在离散化时通常对尺度因子a和平
mm移因子b按幂级数进行离散化，即取a?a0（m为整数，a0?1,但一般都假定,b?b0a0?1），得到离散小波函数为：?m,n?t??其对应系数为：
1a0??mt?na0b0ma0??1a0?m??a0t?nb0?
Cm,n??f?t?,?m,n???f?t??m,n?t?dt (3.2.1 )
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3.2.2 二进制小波变换
二进小波变换是一种特殊的离散小波变换，特别地令参数a0?2，b0?1，则有
?m,n?2??2?mt?n?。该二进尺度分解的原理在二十世纪三十年代由 Littlewood
?m2和 Paley 在数学上进行了研究证明。
离散小波变换为：
WTf?m,n???m,n???f?t??m,n?t?dt (3.2.2)
????离散二进小波变换为：
WTf?m,n???m,n???f?t??m,n?t?dt (3.2.3)
????二维离散小波变换：
我们考虑二维尺度函数是可分离的情况，也就是：
??x1,x2????x1????x2? (3.2.4) 设??xi?是与??xi?对应的一维小波函数，则有：
?1?x1,x2????x1???x2? (3.2.5) ?2?x1,x2????x1???x2? (3.2.6) ?3?x1,x2????x1???x2? (3.2.7)
这说明在可分离的情况下，二维多分辨率可分两步进行。先沿x1方向分别用??x1?和??x2?做分析，把f?x1,x2?分解成平滑和细节两部分，然后对这两部分再沿x2方向用??x2?和??x1?做同样分析，所得到的四路输出中经??x1?，??x2?处理所得的一路是
1第一级平滑逼近A1f?x1,x2?，其它三路输出D1f?x1,x2?，D12f?x1,x2?，D13f?x1,x2?都是
细节函数。如果把??x1?和??x1?的对应频谱??w?，??w?设想成理想的半带低通滤波
1器h和高通滤波器g，则A1f?x1,x2?反映的是x1 , x2两个方向的低频分量，D1f?x1,x2?
反映的是水平方向的低频分量和垂直方向的高频分量，D12f?x1,x2?反映的是水平方向的高频分量和垂直方向的低频分量，D13f?x1,x2?反映的是两个方向的高频分量。对图像进行小波变换就是用低通滤波器h和高通滤波器g对图像的行列进行滤波（卷积），
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然后进行二取一的下抽样。这样进行一次小波变换的结果便将图像分解为一个低频子带（水平方向和垂直方向均经过低通滤波）LL和三个高频子带，即用HL表示水平高通、垂直低通子带，用LH表示水平低通、垂直高通子带，用HH表示水平高通、垂直高通子带。分辨率为原来的1/2，频率范围各不相同。第二次小波变换时只对LL子带进行，进一步将LL子带分解为LL1，LH1，HL1和HH1，分辨率为原来的1/4,频率范围进一步减半，以此类推。所以，进行一次小波变换得到4个子带，进行M次分解就得到3M+1个子带，如下图所示。
LL3
HL3
HL2
LH3
HH3
HL3
LH2 HH2
HH1 LH3
图3.2.2 图像的三级小波分解图
四、 基于MATLAB的小波降噪
常用的图像降噪方式是小波阈值降噪方法。这是一种实现简单而效果较好的降噪方法。阈值降噪方法的思想很简单，就是对小波分解后的各层系数模大于和小于某阈值的系数分别进行处理，然后利用处理后的小波系数重构出降噪后的图像。在阈值降噪中，阈值函数体现了对小波分解系数的不同处理策略和不同的估计方法。常用的阈值函数有硬阈值函数和软阈值函数。硬阈值函数可以很好地保留图像边缘等局部特征，但图像会出现伪吉布斯效应等视觉失真等现象。而软阈值处理相对较光滑，但可能会造成边缘模糊等失真现象，为此人们提出了半软阈值函数。 小波阈值降噪方法处理阈值选取的另一个关键因素是阈值的具体估计。如果阈值太小，降噪后的图像仍然存在噪声；相反如果阈值太大，重要图像特征有被滤掉，引起偏差。从直观上讲,对于给定的小波系数，噪声越大，阈值就越大。
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4.1 程序流程为：
读去图像
预 处 理添加噪声 小波分解 高频分量 阈值处理 低频分量 小波重建 图4.1 程序流程图
分析去噪后图像 4.2 MATLAB实践
4.2.1 程序主要函数说明
⑴读取图像函数（预处理）
一般bmp和jpg格式图像都可以用MATLAB图像处理工具箱的imread函数来读取，如本文用到的lena的图。但MATLAB小波工具箱不能直接处理RGB真彩色图像，可以使用图像处理工具箱的rgb2ind函数将其转化为工具箱能够处理的索引图像，然后再进行加噪消噪等处理。论文最后附上一RGB图像处理例子。
⑵加噪部分
MATLAB是功能强大的软件含有很多封装工具。这里我们用信号处理工具箱的imnoise函数，第二个参数设为’gaussian’即为高斯噪声。
⑶小波处理部分
如上述，MATLAB小波处理工具箱含有大量函数，可以直接应用。用第三章知识自己编写图像小波分解与重建函数也行。图像的2维小波多层分解同2层分解原理一样，
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