江苏省通州高级中学2018届高三年级
12月考数学试卷必答题部分
（满分160分，答题时间120分钟）
说明：本卷内容，所有考生均必须完成．
一、填空题（每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的指定位置内） 1． 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为 ▲ ． 2． 某校高二（1）、（2）班共100
名同学，在分科选择中，一半 选物理 选历史 合 计 男同学 38 15 53 同学（其中男生38人）选择了女同学 12 35 47 物理，另一半（其中男生15人）
合 计 50 50 100 选择了历史．据此信息，可列出一张表．该表常被称为 ▲ ．
3． 从2018名学生中选取100名组成合唱团，若采用下面的方法选取：先用简单随机
抽样从2018人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人被剔除的概率为 ▲ ．
4． 对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：
①a?122a?0；
②(a?b)2?a?2ab?b；
③若|a|?|b|，则a??b； ④若a2?ab，则a?b．
那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是 ▲ ． 5． 下面求1+4+7+10+…+2018的值的伪代码中，正整数m的最大值为 ▲ ． I←1 S←0
While I＜m S←S+I I←I+1 End while Print S End
6． 幂函数y=x?，当?取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的
图像是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，
y 1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x?，y=x?B 的图像三等分，即有BM=MN=NA．那么，??= ▲ ． 7． 设i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，且AB= 4i-2j，
M N AC=7i+4j，AD=3i+6j，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．
x 8． 设p：x|x+1|=2x2，q：(x+1)2=4x2，则p是q的 ▲ 条件．
O A 9． 已知P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的动点，且AP?2，则动点P的轨迹的长度是 ▲ ．
10．旅游、溜冰、踢球三项活动中，我们班的同学每人至少喜欢一项．随机调查了19
名男生，17名女生．其中只喜爱踢球的男生8名，只喜爱踢球的女生7名，喜爱溜冰的男生8名，喜爱旅游的男生5名，只喜爱旅游的男女生7名，只喜爱溜冰的男女生9名，喜爱旅游和溜冰的男生2名．则既喜爱旅游又喜爱溜冰的人有 ▲ 名．
11．对于实数x，若n∈Z，n≤x＜n+1，规定[x]=n，则不等式4[x]2-40[x]+75＜０的解
集是 ▲ ．
12．若对任意x?A,y?B(A?R,B?R)有唯一确定的f(x，y)与之对应，则称f(x，y)
为关于x，y的二元函数．现定义满足下列性质的f(x，y)为关于实数x，y的广义“距离”：
（1）非负性：f(x，y)≥0，当且仅当x?y时取等号； （2）对称性：f(x，y)= f(y，x)；
（3）三角形不等式：f(x,y)≤f(x,z)?f(z,y)对任意的实数z均成立． 今给出三个二元函数，所有能够成为关于x，y的广义“距离”的序号是 ▲ ． ①f(x,y)?x?y；②f(x,y)?(x?y)2；③f(x,y)?x?y．
13．数列a1，a2，…，an为n项正项数列，记?n为其前n项的积，定义n?1?2?n为它的“叠加积”．如果有2018项的正项数列a1，a2，…，a2018的“叠加积”为22018，则2018项的数列2， a1，a2，…，a2018的“叠加积”为 ▲ ． 14．已知函数f(x)?xcosx?cosx?sinx?2cosx?2（x∈[-8π，8π]）的最大值为M，最小
值为m，则M+m= ▲ ．
江苏省通州高级中学2018届高三年级
12月考数学试卷必答题部分答案卷
16．（本题满分10分）如图，已知矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C，D
落在抛物线弧y= -x2+2x (0＜x＜2) 上．设点C的横坐标为x． 一、填空题（每小题5分，共70分，请将答案直接填写在本处的相应位置内） （1）将矩形ABCD的面积S(x)表示为x的函数； 1． 2． 3．
（2）求S(x)的最大值．
4． 5． 6．
7． 8． 9．
10． 11． 12． 13． 14．
二、解答题（共6大题，满分90分．解答须写出必须的解题过程．） 15．（本题满分10分）（1）推导sin3α关于sinα的表达式；
（2）求sin18°的值．
y D O A C x 1 B 2
17．（本题满分15分）如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一
平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12． （1）作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；
H （2）截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论； （3）求DH的长．
18．（本题满分15分）已知函数f(x)的定义域为(0,??)，且对任意的正实数x、y都有
f(xy)=f(x)+f(y)，且当x＞1时，f(x)＞0，f(4)=1． （1）求证：f(1)=0； （2）求：f(G
1)； 16E D A
F
C B
（3）解不等式：f(x)+f(x-3)≤1．
?x?y?6≥0,?19．（本题满分20分）已知平面区域?3x?y?6≤0,恰好被面积最小的圆C：
?2x?y?6≥0?(x-a)+(y-b)=r及其内部所覆盖．设圆A：x+y+20x+16y+160=0，动点P，过P作圆A的切线PM，PN，其中M，N为切点，又过P作圆C的切线PS，PT，其中S，T为切点．
（1）试求圆C的方程；
（2）试问是否存在点P，使得它们同时满足条件：“①P在直线l：2x+y=11上；②P的横、纵坐标均为整数；③MN⊥ST”．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2
2
2
2
2
20．（本题满分20分）已知数列{an}，a1=1，an=3n?1an?1（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设Sn?log3(an)，数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{bn}的通项公式； 273n（3）求数列{|bn|}的前n项和Tn．
江苏省通州高级中学2018届高三年级
12月考数学试卷附加题部分
（满分40分，答题时间30分钟）
说明：本卷为选考物理考生必须完成的部分．共三道题，每小问均为5分． 1． 如图，过点A(6，4)作曲线f(x)?4x?8的切线l．
2． 旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中
一条．
（1）求3个旅游团选择3条不同线路的概率P1； （2）求恰有2条线路没有被选择的概率P2；
（3）求选择甲线路的旅游团数?的分布列与数学期望． 解： （限于答题时间，本题只需要直接给出结论即可）
（1）P1= ；（2）P2= ． （3）?的分布列为：
? P O l S （1）求切线l的方程；
（2）求切线l，x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S．
y A 3． 设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，
PB，并设它们的斜率分别为kPA，kPB．
（1）求抛物线的方程；
（2）若kPA+kPB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值； （3）若kPA·kPB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．
y?4x?8 x 数学期望E?= ．