江苏省通州高级中学2018届高三年级
12月考数学试卷必答题部分（试题与答案）
（满分160分，答题时间120分钟）
说明：本卷内容，所有考生均必须完成．
一、填空题（每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的指定位置内） 1． 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为 ▲ ．
答案：22． 2． 某校高二（1）、（2）班共100
名同学，在分科选择中，一半 选物理 选历史 合 计 男同学 38 15 53 同学（其中男生38人）选择了女同学 12 35 47 物理，另一半（其中男生15人）
合 计 50 50 100 选择了历史．据此信息，可列出一张表．该表常被称为 ▲ ． 答案：2×2列联表．
3． 从2018名学生中选取100名组成合唱团，若采用下面的方法选取：先用简单随机
抽样从2018人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人被剔除的概率为 ▲ ． 答案：
1251． 4． 对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：
①a?1a?0； ②(a?b)2?a2?2ab?b2； ③若|a|?|b|，则a??b； ④若a2?ab，则a?b．
那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是 ▲ ． I←1 S←0
答案：②④．
While I＜m 5． 下面求1+4+7+10+…+2018的值的伪代码中，正整数m的
S←S+I 最大值为 ▲ ． I←I+1 End while 答案：2018． Print S End
6． 幂函数y=x?，当?取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），y 连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x?，y=x?的B 图像三等分，即有BM=MN=NA．那么，??= ▲ ．
M 答案：1．
N 7． 设i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，且AB= 4i-2j，
x O A AC=7i+4j，AD=3i+6j，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．
答案：30．
8． 设p：x|x+1|=2x2，q：(x+1)2=4x2，则p是q的 ▲ 条件．
答案：既不充分又不必要
9． 已知P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的动点，且AP?2，则动点P的轨迹的长度是 ▲ ． 答案：
3π2． 10．旅游、溜冰、踢球三项活动中，我们班的同学每人至少喜欢一项．随机调查了19
名男生，17名女生．其中只喜爱踢球的男生8名，只喜爱踢球的女生7名，喜爱溜冰的男生8名，喜爱旅游的男生5名，只喜爱旅游的男女生7名，只喜爱溜冰的男女生9名，喜爱旅游和溜冰的男生2名．则既喜爱旅游又喜爱溜冰的人有 ▲ 名． 答案：3．
11．对于实数x，若n∈Z，n≤x＜n+1，规定[x]=n，则不等式4[x]2-40[x]+75＜０的解
集是 ▲ ． 答案：[3,8)．
12．若对任意x?A,y?B(A?R,B?R)有唯一确定的f(x，y)与之对应，则称f(x，y)
为关于x，y的二元函数．现定义满足下列性质的f(x，y)为关于实数x，y的广义“距离”：
（1）非负性：f(x，y)≥0，当且仅当x?y时取等号； （2）对称性：f(x，y)= f(y，x)；
（3）三角形不等式：f(x,y)≤f(x,z)?f(z,y)对任意的实数z均成立．
今给出三个二元函数，所有能够成为关于x，y的广义“距离”的序号是 ▲ ． ①f(x,y)?x?y；②f(x,y)?(x?y)2；③f(x,y)?x?y． 答案：①．
13．数列a1，a2，…，an为n项正项数列，记?n为其前n项的积，定义n?1?2?n为它的“叠加积”．如果有2018项的正项数列a1，a2，…，a2018的“叠加积”为22018，则2018项的数列2， a1，a2，…，a2018的“叠加积”为 ▲ ． 答案：22018．
14．已知函数f(x)?xcosx?cosx?sinx?2cosx?2（x∈[-8π，8π]）的最大值为M，最小
值为m，则M+m= ▲ ． 答案：2．
二、解答题（共6大题，满分90分．解答须写出必须的解题过程．） 15．（1）推导sin3α关于sinα的表达式；
（2）求sin18°的值．
解：（1）sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα
=2sinα(1-sin2α)+(1-2sin2α)sinα=3sinα-4sin3α ．
（2）∵sin54°=cos36°， ∴3sin18°-4sin318°=1-2sin18°．
令t= sin18°，则上式可变形为3t-4t3=1-2t2，即 (t-1)(4t2+2t-1)=0．
解得 t?5?14（t= 1与t??5?14均不合，舍去）．
∴sin18°=5?14． y 16． 如图，已知矩形ABCD的一边AB在x轴上，另D C 两个顶点C，D落在抛物线弧y= -x2
+2x (0＜x＜2) 上．设点C的横坐标为x．
x O A 1 B 2
（1）将矩形ABCD的面积S(x)表示为x的函数； （2）求S(x)的最大值．
解：因点C的横坐标为x，故C的纵坐标为y= -x2+2x，B的坐标(x，0)，A(2-x，0)．
矩形ABCD的面积为S(x)?(2x?2)y?(2x?2)(?x2?2x)??2x3?6x2?4x（1
＜x＜2）．
令 S?(x)??6x2?12x?4?0 ， 得 x?1?33． 由于x?1?33＜1，故舍去，于是x?1?33． 当x∈(1，2)时，S?(x)的符号如下：
x (1,1?3333) 1?3 (1?3,2) S?(x) ＋ 0 － 所以，S(x)在x?1?33处取得极大值，结合题意知这个极大值就是最大值．此时， S= ?2(1?33)3?6(1?323433)?4(1?3) =9 ． 17．如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几
何体，其中四边形EFGH为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12． （1）作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；
H G
（2）截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论； （3）求DH的长．
E F
解：（1）作HE与DA的交点P，作GF与CB的交点Q，连
D PQ得直线l，它便是所求作．
A
C （2）截面EFGH为菱形．
B
因平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，故EF∥GH．
同理，FG∥EH，故四边形EFGH为平行四边形．
又EF2=AB2+(BF-AE)2=25，FG2=BC2+(CG-BF)2=25，于是 EF=FG=5，
故 四边形EFGH为菱形．
（3）由AE+CG=BF+DH，得 DH=9．
18．已知函数f(x)的定义域为(0,??)，且对任意的正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)，且
当x＞1时，f(x)＞0，f(4)=1． （1）求证：f(1)=0；
（2）求：f(116)；
（3）解不等式：f(x)+f(x-3)≤1． 解：（1）令x=4，y=1，则f(4)=f(4×1)=f(4)+f(1)，f(1)=0．
（2）f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2，f(1)=f(116?16)=f(116)+f(16)=0，f(116)= -2． （3）设x＞0，且xx1、x21＞x2，于是f(1x)＞0，
2f(xxxxx1)?f(12)?f(1)?f(x2)＞f(x2)，
2x2∴f(x)为(0,??)上的增函数．
又f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]≤1=f(4)， ?x＞0,∴??x?3＞0,?3＜x≤4． ??x(x?3)≤4?x?y?6≥19．（本题满分20分）已知平面区域?0,?3x?y?6≤0,恰好被面积最小的圆C：
??2x?y?6≥0(x-a)2
+(y-b)2
=r2
及其内部所覆盖．设圆A：x2
+y2
+20x+16y+160=0，动点P，过P作圆A的切线PM，PN，其中M，N为切点，又过P作圆C的切线PS，PT，其中S，T为切点． （1）试求圆C的方程；
（2）试问是否存在点P，使得它们同时满足条件：“①P在直线l：2x+y=11上；②P的横、纵坐标均为整数；③MN⊥ST．”若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）方程为：(x-6)2+(y-2)2=100．
（2）存在P（3，5）．
20．已知数列{an}，a1=1，an=3n?1an?1（n≥2，n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Sn?logan3(273n)，数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{bn}的通项公式；
（3）求数列{|bn|}的前n项和Tn．
解：（1）由已知得，当n≥2时，
an?3n?1a． n?1n(n?1)
∴a?an?an?1?a3?a2?an?1a1=3?3n?2??32?31?1?3(n?1)?(n?2)??1na??32．
n?1an?22a1n(n?1)2 （2）S?loga3n(n?1)n2nn3(273n)=log3273n?2?9n??19n2． b1=S1= -9；
当n≥2时，bn=f(n)-f(n-1)=n-10， 上式中，当n=1时，n-10= -9=b1， ∴bn=n-10．
（3）数列{bn}为首项为-9，公差为1的等差数列，且当n≤10时，bn≤0，故n
≤10时，T19n?n2n=|Sn|?2．
当n＞10时，Tn=|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|
= -b1-b2- … -b10+b11+…+bn
=|b1+b2+b3+b4+…+bn|+2|b1+b2+…+b10|
n2=?19n?1802．
??19n?n2,(n≤10,n?N*),
∴Tn=??2?n2?19n?180
??2,(n＞10,n?N*).