已知电荷q1=q3=q，则q2=-q2q4；若固定将从O点经任意路径移到无穷远处，则外力需做
功A=
8??0a
q1Dq2q2 a q3
aO 12、真空中有有一点电荷，其电荷量为Q
三 计算题
1、用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空隙为2cm，电量为3.12?10?9C的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。 解：∵棒长为l?2?r?d?3.12m，
OR??x2cm∴电荷线密度：??ql?1.0?10?9C?m?1
可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去d?0.02m长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。 解法1：利用微元积分：
dEOx?14??0??Rd?R2cos?，
∴EO?????cos?d???4??0R?2sin???4??0R?2???d4??0R2?0.72V?m?1；
解法2：直接利用点电荷场强公式：
?11由于d??r，该小段可看成点电荷：q???d?2.0?10C，
则圆心处场强：EO?q?4??0R2?9.0?10?92.0?10(0.5)?112?0.72V?m?1。
方向由圆心指向缝隙处。
2、如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为?，长度为l，细线左端离球心距离为r0。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。 解：（1）以O点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x轴， 均匀带电球面在球面外的场强分布为：E?q4??0r2（r?R）。
取细线上的微元：dq??dl??dr，有：dF?Edq，
?∴F????r0?lr0q4??0x2??dr???qlr?4??0r0(r0?l)?为r方向上的单位矢量） （rq4??0r??（2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：U?（r?R，?为电势零点）。
q??dr，
对细线上的微元dq??dr，所具有的电势能为：dW?∴W?q4??04??0r?r0?lr0?drr?q?4??0lnr0?lr0。
3、半径R1?0.05m,，带电量q?3?10?8C的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径R2?0.07m，外半径R3?0.09m，带电量Q??2?10?8C。试求距球心r处的P点的场强与电势。（1）r?0.10m（2）r?0.06m（3）r?0.03m。 解：由高斯定理，可求出场强分布：
?E1??E2???E?3??E4???0?q4??0r2r?R1R1?r?R2R2?r?R3Q?q2QqR1?R2R3?0?
4??0rr?R3∴电势的分布为： 当r?R1时，U1??R2q4??0r2R1dr?q??R3Q?q4??0r2dr?q4??0R1(1?1R2(1)?1Q?q4??0R3)?，
，
当R1?r?R2时，U2?当R2?r?R3时，U3?当r?R3时，U4???Rr?24??0rQ?q4??0r222dr???R3Q?q4??0r2dr?q4??0r?Q?q4??0R3R2R3dr?Q?q4??0R3，
??rQ?q4??0rdr?Q?q4??0r，
∴（1）r?0.10m，适用于r?R3情况，有：
E4?Q?qQ?q3?9?10NU??900V； ，44??0r24??0rq4??0r2q4??0Q?q11?)??1.64?103V； rR24??0R3（2）r?0.06m，适用于R1?r?R2情况，有： E2??7.5?104N，U2?(（3）r?0.03m，适用于r?R1情况，有：
E1?0，U1?q4??0(Q?q11?)??2.54?103V。 R1R24??0R3
4、长l?20cm的直导线AB上均匀分布着线密度为??3?10?8Cm的电荷，如图示，求（1）在导线的延长线上与导线一端B相距d?8cm处P点的电场强度。 （2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距d?8cm处Q点的电场强度。 解（1）如题9-4图(a)，取与棒端相距d1的P点为坐标原点,x轴向右为正。设带电细棒电荷元dq??dx至P点的距离x，它在P点的场强大小为 dEP?14??0?dxx2 方向沿x轴正向
各电荷元在P点产生的场强方向相同，于是 EP??dEP??4??014??0??d1dxx2?(d1?L)
??11?????d??1d1?L?9?8 ?9?10?3?10311????? ?2?228?10??8?10
?2.41?10V?m?1方向沿x轴方向。
（2）坐标如题9-4图(b)所示，在带电细棒上取电荷元dq??dx与Q点距离为r，电荷元在
14??0Q点所产生的场强dE?场强dE的y分量为
?dxr2，由于对称性，场dE的x方向分量相互抵消，所以Ex=0,
dEy?dEsin??14??0?dxr2sin?
因r?d2csc?,x?d2tg????14???21??????d2ctg?,dx?d2csc?d?
2?2∴ dEy??dx0r2sin???4??0d2sin?d?
Ey??dEy????4??0d2sin?d???4??0d2(co?s1?cos?2)
?1?其中 cosL/2d?(L/2)222,cos?2??L/2d?(L/2)222
代入上式得
Ey??4??0d2d9L22?(L/2)?82
?9?10?3?108?10?2?0.2?(8?10?2)?(0.2/2)2?12?5.27?10V?m3?1
方向沿y轴正向。
5、如计算4题图所示：长为L的带电细棒沿X轴放置，其电荷线密度λ= Ax , A 为常量试
求： x x+dP X O
a L
（1）在其延长线上与棒的近端距离为 a 的一点P处的电场强度大小。 （2）在其延长线上与棒的近端距离为 a 的一点P处的电势。
解：（1）取位于x 处的电荷元dq 电量为： dq?Axdx 其在P点产生电场的场强大小为：
P点的总场强的大小为：
积分得：
dU?Axdx4??0(L?a?x)
dE?Axdx4??0(L?a?x)A2E?4??0?Lxdx(L?a?x)20E?A4??0?L?a?ln??ln?L?a?x???L?a?x?L?0A4??0?LL???ln??ln?1???a????a（2）元电荷dq在P点出的电势为： 积分可得P点的电势：
U??LAxdx4??0(L?a?x)A0?A4??0?LxdxL?a?xL0?4??A4???(L?a?x)?(L?a)ln(L?a?x)?00?
0??L??(L?a)ln1??L????a????
四 简答题
1、 一个内外半径分别为R1和R2 的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3 的均匀带电球面，球面带电荷为Q2 .求电场分布.电场强度是否为离球心距离r的连续函数？ 试分析.
分析 以球心O为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而
?EdS2?E?4πr .在确定高斯面内的电荷?q 后，利用高斯定理?EdS??q/ε0即可
求出电场强度的分布.
解 取半径为r 的同心球面为高斯面，由上述分析
E?4πr?2?q/ε30
r＜R1 ，该高斯面内无电荷，?q?0，故E1?0
R1 ＜r＜R2 ，高斯面内电荷?q?Q1r?R1R2?R133333?3?
故 E2?Q1r?R14πε032??R?R1??r2
R2＜r＜R3，高斯面内电荷为Q1 ，故
E3?Q14πε0r2
r＞R3 ，高斯面内电荷为Q1＋Q2，故
E4?Q1?Q24πε0r2
电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r ＝R3 的带电球面两侧，电场强度的跃变量
ΔE?E4?E3?Q24πε0R23?ζε0
这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，E的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变.
2、图3所示静电场中，将负电荷从点P移至点Q电场力做正功，电势能的增减如何？哪点的电势高？