课 题 : 10. 3组合 (五 教学目的:
对排列组合的知识有一个系统的了解,从而进一步掌握;
2.能运用排列组合概念及两个原理解决排列组合的综合题; 3.提高合理选用知识分析问题、解决问题的能力 教学重点:教学难点:授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具 :多媒体、实物投影仪 内容分析 :
学生易于辨别组合、 全排列问题, 而排列问题就是先组合后全排列 . 在求解 排列、组合问题时,可引导学生找出两定义的关系后,按以下两步思考:首先 要考虑如何选出符合题意要求的元素来,选出元素后再去考虑是否要对元素进 行排队,即第一步仅从组合的角度考虑,第二步则考虑元素是否需全排列,如 果不需要,是组合问题;否则是排列问题 .
排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景,解题思路 通常是依据具体做事的过程,用数学的原理和语言加以表述 . 也可以说解排列、 组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发,正确领会问题的实质, 抽象出“按部就班”的处理问题的过程 . 据笔者观察, 有些同学之所以学习中感 到抽象,不知如何思考,并不是因为数学知识跟不上,而是因为平时做事、考 虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常 理或常规的做法 . 要解决这个问题, 需要师生一道在分析问题时要根据实际情 况,怎么做事就怎么分析,若能借助适当的工具,模拟做事的过程,则更能说 明问题 . 久而久之,学生的逻辑思维能力将会大大提高 .
排列、组合问题解题方法比较灵活,问题思考的角度不同,就会得到不同 的解法 . 若选择的切入角度得当,则问题求解简便,否则会变得复杂难解 . 教学 中既要注意比较不同解法的优劣,更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行 教学过程 :
一、复习引入:
做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法
中有 1m 种不同的方法,在第二类办法中有 2m 种不同的方法,??,在第 n 类 办法中有 n m 12n N m m m =+++ 种不
2. 分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 1 m 种不同的方法,做第二步有 2m 种不同的方法,??,做第 n 步有 n m 种不同的 方法,那么完成这件事有 12n N m m m =??? 种不同的方法 3.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m (m n ≤个元素(这里的被 取元素各不相同按照一定的顺序 ..... 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的 4.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m (m n ≤个元素的所有排 列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的 排列数 ,用符号 m n A 5.排列数公式:(1(2 (1 m n A n n n n m =---+ (, , m n N m n *∈≤ ! n 表示正整数 1到 n 的连乘积,叫做 n 0! 1=.
7.排列数的另一个计算公式:m n A = ! (!
n n m - 一般地,从 n 个不同元素中取出 m (m n ≤个元素并成一
组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 说明:⑴ 9. 组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m (m n ≤个元素的所有组合的 个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数 ...
.用符号 m
n C 表示. 10.组合数公式:(1(2 (1 ! m m
n n m m
A n n n n m C A m ---+= = 或 !
(! ! m n m n C m n -=, , (n m N m n ≤∈*
且 组合数的性质 1:m n n m n C C -=.规定:10 =n C ;
12.组合数的性质 2:m n C 1+=m n C +1 -m n C 二、讲解范例:
例 1. 某考生打算从 7所重点大学中选 3所填在第一档次的 3个志愿栏内, 其中 A B
A 校定为第一志愿; 再从 5所一般大学中选 3所填在第二档次的三个志愿栏内, 其中 B 、 C 两校必选,且 B 在 C 解 :先填第一档次的三个志愿栏:因 A 校定为第一档次的第一志愿,故第一档
次的二、三志愿有 26A 种填法;再填第二档次的三个志愿栏:B 、 C 两校有 2
3C 种填法, 剩余的一个志愿栏有 1 3A 此考生不同的填表 方法共有 2 6A 23 C 13
270A =例 2. 如图是由 12个小正方形组成的 43?矩形网格, 一质点沿网格线从点 A 到点 B 的不同路径之中, 最短路 径有 解 : 总揽全局:把质点沿网格线从点 A 到点 B 的最短路径分为七步, 其中四步 向右,三步向上,不同走法的区别在于哪三步向上,
因此,本题的结论是:353 7=C .
例 3. 圆周上有 12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个 数最多是多少?
解 在圆内有交点,但如果两条弦相交,则交点就是以这两条弦的四个端点为顶点 的四边形的对角线的交点,也就是说,弦在圆内的交点与以圆上四点为顶点的 因此只需求以圆上四点为顶点的四边形的个数,即 4
12495C =变式 :本题构造了四边形以求得满足条件的交点, 类似的, 前面讲过一个问题: 以一个正方体的 8个顶点连成的异面直线共有 解 :以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 4
812C -=58个,每个四面体的
四条棱可以组成 3对异面直线,因此以一个正方体的 8个顶点连成的异面直线 共有 3×58=174另解 :(3
1 2 2
44443210174C C C C ??+-=??
例 4. 有 10只不同的试验产品,其中有 4只次品, 6只正品,现每次取一只测 试,直到 4只次品全测出为止,求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的 不同情形有多少种?
解 :本题实质是,前五次测试中有 1只正品 4思路一:设想有五个位置, 先从 6只正品中任选 1只, 放在前四个位置的任 一个上, 有 1
1
64C C 种方法; 再把 4只次品在剩下的四个位置上任意排列, 有 4 4A 种 A
114
644576C C A =思路二:设想有五个位置, 先从 4只次品中任选 1只, 放在第五个位置上,