第一章 事件与概率
1．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
（6）实测某种型号灯泡的寿命，
??{ini?0,1,?,100n}, 解 （1）
??{3,4,?,18} ??{10,11,?}。其中n为班级人数（2）（3）
（4）??{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。
（5）??{(x,y)? 0 2．设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件，。 （1）A发生，B与C不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C中至少有一个发生。 （4）A，B，C都发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中不多于一个发生。 （7）A，B，C至少有一个不发生。 （8）A，B，C中至少有两个发生。 解 （1）ABC，（2）ABC，（3）A?B?C，（4）ABC，（5）ABC， （6）AB?AC?BC或（7）A?B?C， （8）AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。 （1）A?B?AB?B （2）AB?AB （3）若B?A,则B?AB （4）若 A?B,则B?A （5）A?BC?ABC （6） 若AB??且C?A， 则BC?? 解 : (1) 成立，因为 AB?B?(A?B)(B?B)?A?B。 (2) 不成立，因为AB?A?B?AB。 (3) 成立，?B?A,?B?AB,又AB?B,?B?AB。 (4) 成立。 (5) 不成立，因左边包含事件C，右边不包含事件C，所以不成立。 1 (6) 成立。因若BC≠φ，则因C?A，必有BC?AB，所以AB≠φ与已知矛盾，所以成立。 图略。 4．简化下列各式： （1） (A?B)(B?C) （2）(A?B)(A?B) （3）(A?B)(A?B)(A?B) 解:（1）(A?B)(B?C)?AB?AC?B?BC，因为 AB?BC?B， 所以，(A?B)(B?C)?B?AC。 （2）(A?B)(A?B)?A?AB?BA?BB， 因为 AB?BA?A??A， BB??且C???C，所以 (A?B)(A?B)?A。 （3）(A?B)(A?B)(A?B)?A(A?B)???AB?AB。 5．设A，B，C是三事件，且P（A） 1＝P（B）＝ P（C）＝4， P(AB)?P(BC)?0,P(AC)?1,8求A，B，C至少有一个发生的概率。 解 ∵ABC?AB ∴0∠P(ABC)∠P(AB)=0，故P(ABC)=0 ∴所求概率为 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 1 4?14?12?0?18?0?0?78 6． 从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。试求下列事件的概率： （1）三位数是奇数； （2）三位数为5的倍数； （3）三位数为3的倍数； （4）三位数小于350。 解 设A表示事件“三位数是奇数”， B表示事件“三位数为5的倍数”， C表示事件“三位数为3的倍数”，D表示事件“三位数小于350”。 基本事件总数为 24V??A5， 3VA?A?3,(1) P(A)?A4?3A2352?36601260?0.6； VB?A?1,(2) 24P(B)?A4?1A53??0.2； VC?4?3!,(3) 24P(A)?4?3!A53?2460?0.4； VD?A?2?A?A, (4) 1313P(D)?A4?2?A3?A3A53211?3360?0.55。 7．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？ 2 3CCC1017解 随机试验E为任意取9桶交与定货人，共有种交货方式。其中符合定货要求的有·4·C3种， 942故所求概率为 P?C10C4C3C179432?2522431 8．在1700个产品中有500个次品、1200个正品。任取200个。（1）求恰有90个次品的概率；（2）求至少有2个次品的概率。 解 （1）试验E为1700个产品中任取200个，共有C1700种取法，其中恰有90个次品的取法为C500·C1200， 故恰有90个次品的概率为 20090110P1?C?S C500?C1200C170020090110 （2）设事件A表示至少有2个次品，B表示恰有1个次品，C表示没有次品，则A=S-(B∪C)，且BC=φ，B∪ ?1?∴P(A)=P[S-(B∪C)]=P(S)-[P(B)+P(C)]解 VΩ=P10=10！，设所论事件为A，则 C500?C1200?C1200C17002001199200 9．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。 ? VA=8！×3！ P(A)?8!?3!10!?0.067 10．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？ 解 VΩ=C41，设A 表示事件“4只鞋中至少有2只配成一双”，则 A 表示“4只鞋中没有2只能配成一双”。 0 先求出P(A )，再求P(A)。 10?8?6?4有利于 A 的情形共有 4! 种（因为不考虑取4只鞋的次序，所以被4！除）。 10?8?6?4?P(A)4!4C10?821?0.381 故 1222P(A)?1?P(A)?1?821?1321?0.619 CC?C5(C5是重复的数目另一解法：有利于事件A的总数为58) ?P(A)?C5C8?C5C410122?1321?0.619 11．将3鸡蛋随机地打入5个杯子中去，求杯子中鸡蛋的最大个数分别为1，2，3的概率。 解 依题意知样本点总数为53个。 以Ai(i=1, 2, 3)表示事件“杯子中鸡蛋的最大个数为i”，则A1表示每杯最多放一只鸡蛋，共有 A53种放法，故 P(A1)?A5533?1225 C3C5C4211A2表示由3个鸡蛋中任取2个放入5个杯中的任一个中，其余一个鸡蛋放入其余4个杯子中，放法总数为种 3 P(A2)?A3表示3个鸡蛋放入同一个杯中，共有 C3?C5?C453211?1225 C5种放法，故 1325 5 12．把长度为a的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。 解 设所论事件为A，线段a被分成的三段长度分别用x，y和a-x-y表示，则样本空间Ω为：0＜x＜a，0＜y P(A3)?C5?1L(?)?＜a，0＜x+y＜a，其面积为 a22, 而有利于A的情形必须满足构成三角形的条件，即 0?x?a2,0?y?a2,a2?x?y?a. 1a2L(A)?(),22其面积为 ?1a2()L(A)1P(A)??22??0.2512L(?)4a2 。 13．甲乙两艘轮船要在一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。若甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需等候码头空出的概率。 解 设自当天0时算起，甲乙两船到达码头的时刻分别为x及y，则Ω为：0≤x≤24，0≤y≤24，∴L(Ω)=242，设所论事件为A，则有利于A的情形分别为： （1）当甲船先到时，乙船应迟来一小时以上， 即y-x≥1或y≥1+x； （2）当乙船先到时，甲船应迟来两小时以上， 即x-y≥2或y≤x-2； ∴事件A应满足关系：y≥1+x，y≤x-2， ?L(A) 12(24?1)?212(24?2)2 1?P(A)?L(A)L(?)14?2(23?22)24222?0.879。 P(A)?14．已知 解 由乘法公式知 ,P(BA)?13,P(AB)?1,2 求P(B),P(A?B)。 P(AB)?P(B|A)P(A)? 13?14?112 P(AB)?P(A|B)P(B) P(B)?P(AB)P(A|B)?1/121/2?16 ∴ 4 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?∴ 14?16?112?13 15．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。求下列事件的概率。 （1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。 解 设以Ai(i=1,2)表示事件“第i次取出的是正品“，因为不放回抽样，故 （1） P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?810210??7919??2845 145 （2）（3） P(A1A2?A1A2)?P(A1A2)?P(A1A2)945 82219P(A2)?P(A1A2?A1A2)?P(A1A2)?P(A1A2)?????1091094516．在做钢筋混凝土（4） 构件以前，通过拉伸试验，抽样检查钢筋的强度指标，今有一组A3钢筋100根，次品率为2%，任取3根做拉伸试验， 如果3根都是合格品的概率大于0．95，认为这组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理，问这组钢筋能否用于做构件？ 解 设 ?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?810?29?210?8?16Ai表示事件“第i次取出的钢筋是合格品” ，则 9810097999698 P(A1)?,P(A2A1)?,P(A3A1A2)?所以 P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?0.9406?0.95故这组钢筋不能用于做构件。 17．某人忘记了密码锁的最后－个数字，他随意地拨数，求他拨数不超过三次而打开锁的概率。若已知最后一个数字是偶数，那么此概率是多少？ 解 设以Ai表示事件“第i次打开锁”（i=1,2,3），A表示“不超过三次打开”，则有 A?A1?A1A2?A1A2A3 易知： A1,A1A2,A1A2A3是互不相容的。 P(A)?P(A1?A1A2?A1A2A3)?P(A1)?P(A1A2)?P(A1A2A3)?P(A1)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P(A3)|A1A2)1010910∴ 同理，当已知最后一个数字是偶数时，所求概率是 P?15?45?14?45?313??435 ?1?9?1?9?813??9810 18．袋中有8个球，6个是白球、2个是红球。 8个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中。问第一人，第二人，??，最后一人取得红球的概率各是多少个。 5