第六章
6-1频率为??1.25?104Hz的平面简谐纵波沿细长的金属棒传播，棒的弹性模量
E?1.90?1011N/m2，棒的密度??7.6?10Kg/m.求该纵波的波长.
33分析 纵波在固体中传播，波速由弹性模量与密度决定。 解：波速u?E/?,波长??u/? ??E/??2?0.4m
6-2一横波在沿绳子传播时的波方程为：y?0.04cos(2.5?t??x)(SI)(1)求波的振幅、波
速、频率及波长；(2)求绳上的质点振动时的最大速度；(3)分别画出t=1s和t=2s的波形，并指出波峰和波谷.画出x=1.0m处的质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同. 解：（1）用比较法，由y?0.04cos(2.5?t??x)?Acos(?t???A?0.04m ； ???/2??2.5?/2??1.25Hz；
2??x)得
2????,??2.0m
u????2.5m/s
（2）?m?A??0.314m/s
题图
（3）t=1(s)时波形方程为：
y1?0.04cos(2.5???x) t=2(s)时波形方程为：y2?0.04cos(5???x)
x=1(m)处的振动方程为：y?0.04cos(2.5?t??)
6-3 一简谐波沿x轴正方向传播，t=T/4时的波形图如题图6－3所示虚线，若各点的振动以余弦函数表示，且各点的振动初相取值区间为（-π，π].求各点的初相.
分析 由t=T/4时的波形图(图中虚线)和波的传播方向,作出t=0时的波形图。依旋转矢量法可求t=0时的各点的相位。
解:由t=T/4时的波形图(图中虚线)和波的传播方向,作出t=0时的波形图(图中实线),依旋转矢量法可知 质点1的初相为π; 质点2的初相为π/2; 质点3的初相为0; 质点4的初相为-π/2.
6-4 有一平面谐波在空间传播,如题图6－4所示.已知A点的振动规律为
题图6-3
t
y?Acos(?t??)，就图中给出的四种坐标,分别写出它们波的表达式.并说明这四个表达式
中在描写距A点为b处的质点的振动规律是否一样? 分析 无论何种情况，只需求出任意点x与已知点的相位差，同时结合相对坐标的传播方向（只考虑相对于坐标方向的正负关系）即可求解波的表达。只要把各种情况中b的坐标值分别代入相应的波动方程就可求得b点的振动规律。
解: 设其波长为λ,选o点处为坐标原点,由方程y?Acos(?t??)；可得取图中a
题图6-4
所示的坐标,则x处质点的振动比A点滞后x2?,故
?a.y?Acos(?t?同理可得
x?x2???)
b.y?Acos(?t??2???)
c.y?Acos(?t?d.y?Acos(?t?x?l?x?l2???) 2???)
?要求距A为b的点的振动规律,只要把各种情况中b的坐标值分别代入相应的波动方程就可求得.从结果可知,取不同的坐标只是改变了坐标的原点,波的表达式在形式上有所不同,但b点的振动方程却不变.即
(2)
?y?Acos(?t?b?2???)
6-5一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅为A，频率为?，波速为u.设t?t'时刻的波形曲线如题图6－5所示.求(1)x=0处质点振动方程；(2)该波的波方程.
分析 由于图中是t'时刻波形图，因此，对x=0处质点，由图得出的相位也为t'时刻的相位。再由旋转矢量推算出t=0时刻的初相位。进而写出波动方程。
解：(1)设x?0处质点的振动方程为 y?Acos[2??(t?t')??]。由图可知，t?t'时
y?Acos??0，???A?sin??0。所以???/2
t?t?
题图6-5
1?] 21(2)该波的表达式为： y?Acos[2??(t?t'?x/u)??]
2x?0处的振动方程为：y?Acos[2??(t?t')?6-6一平面简谐波沿x轴正向传播，波的振幅A?10cm，波的角频率??7?rad/s，当而x?20cm处的bt?1.0s时，x?10cm处的a质点正通过其平衡位置向y轴负方向运动，
质点正通过y?5.0cm点向y轴正方向运动.设该波波长??10cm，求该平面波的波方程. 分析 通过旋转矢量图法，结合x?10cm点和x?20cm点，在t?1.0s的运动状态，可得到波长和初相。
解：设平面简谐波的波长为?，坐标原点处质点振动初相为?，则该列平面简谐波的表达式可写成 y?0.1cos(7?t?2?x/???)(SI)。t?1.0s时x?10cm 处
y?0.1cos[7??2?(0.1/?)??]?0
因此时a质点向y轴负方向运动，故 7??2?(0.1/?)???1?2(1)
而此时, b质点正通过y?0.05m处，有y?0.1cos[7??2?(0.2/?)??]?0.05，且质
1点b向y轴正方向运动，故 7??2?(0.2/?)?????3(2)
由(1)、(2)两式联立得 ??0.24m ， ???17?/3 所以，该平面简谐波的表达式为：y?0.1cos[7?t??x0.12?17?](SI) 36-7 已知一平面简谐波的波方程为y?0.25cos(125t?0.37x)(SI)(1)分别求
x1?10m,x2?25m两点处质点的振动方程；(2)求x1、x2两点间的振动相位差；(3)求x1点
在t=4s时的振动位移.
分析 波方程中如果已知某点的位置即转化为某点的振动方程。直接求解两点的振动相位差和某时刻的振动位移。
解：(1)x1?10m、x2?25m的振动方程分别为：yx?10?0.25cos(125t?3.7)(SI),
yx?25?0.25cos(125t?9.25)(SI) (2) x2与x1两点间相位差 ????2??1??5.55rad
(3) x1点在t=4s时的振动位移 y?0.25cos(125?4?3.7)?0.249m
6-8如题图6-8所示，一平面波在介质中以波速u?20m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为y?3?10?2cos4?t(SI). (1)以A点为坐标原点写出波方程； (2)以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波方程. 分析 由波相对坐标轴的传播方向和已知点的振动方程 直接写出波方程。
解：(1)坐标为x处质点的振动相位为
?t???4?[t?(x/u)]?4?[t?(x/20)]波的表达式为
u
B A 题图6-8
y?3?10?2cos4?[t?(x/20)](SI)
(2)以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为 ?t??'?4?[t?波的表达式为 y?3?10?2cos[4?(t?x?5](SI) 20x)??](SI) 206-9 有一平面简谐波在介质中传播，波速u?100m/s，波线上右侧距波源O（坐标原点）为75m处的一点P的运动方程为y?0.30cos(2?t??/2)(SI),求： (1)波向x轴正向传播的波方程；(2)波向x轴负向传播的波方程.
解：(1)设以x?0处为波源，沿轴正向传播的波方程为： y?Acos[?(t?x/u)??0]
在上式中，代入x?75m，并与该处实际的振动方程y?0.30cos(2?t??/2)比较 可得：A?0.3m,??2?s?1,?0?2?， 可得：y?0.30cos(2?t?(2)设沿轴负向传播的波方程为：y?Acos[?(t?x/u)??0]
在上式中，代入x?75m，并与该处实际的振动方程y?0.30cos(2?t??/2)比较 可得：A?0.3m,??2?s?1,?0???， 可得：y?0.30cos[2?t???所求
6-10 一平面谐波沿ox轴的负方向传播,波长为λ，P点处质点的振动规律如题图6－10所示.求:
（1）P点处质点的振动方程;（2）此波的波动方程；（3）若图中d??/2,求O点处质点的振动方程.
分析 首先由已知振动规律结合旋转矢量图可得P点振动的初相与周期，从而得到其振动方程。波动方程则由P与原点的距离直接得到。波动方程中直接代入某点的坐标就可求出该点的振动方程。
解:（1）从图中可见T?4s,且t?0,ypo??A,??0??,则P点处质点的振动方程为 yp?Acos( 2?x)(SI)为所求 1002?x](SI)为100yP (m) 2??t??)?Acos(t??)(SI) 420 1 -A O （2）向负方向传播的波动方程为
t (s) y?Acos[（3）把d??/2,?2(t?x?d?)??]
d P x x?0代入波动方程即得
??/2y0?Acos[?2(t???3?)??]?Acos(t?)
24题图6-10
6-11一平面简谐波的频率为500Hz，在空气(??1.3Kg/m3)中以
340m/s的速度传播，达到人耳时的振幅为1.0?10?6m.试求波在人耳中的平均能量密度
和声强.
分析 平均能量密度公式直接求解。声强即是声波的能流密度。 解:波在耳中的平均能量密度：w?1?A2?2?2?2?A2?2?6.41?10?6J/m3 2?32声强就是声波的能流密度，即：I?uw?2.18?10W/m
6-12 一正弦空气波,沿直径为0.14m的圆柱形管传播,波的平均强度为9?10?3J/s?m2,频率为300Hz,波速为300m/s.求:
(1) 波中的平均能量密度和最大的能量密度各是多少? (2) 每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量?