第2章 单 元
2.1 单元插值和形函数
插值就是构造一个在有限点能满足规定条件的连续函数。在有限元分析中，这些点是一个单元的节点，规定条件是一个场量的节点值（也可能是它的导数）。节点值很少是精确的，即使它们是足够精确的，插值法在其他位置给出的通常也会是近似值。在有限元分析中，插值函数几乎总是一个能自动提供单值连续场的多项式。
对于一维问题，根据广义自由度ai、一个含有因变量?和自变量x的插值多项式可以写成下列形式：
???X??a? （2-1）
式中，?X??1,x,x2,...,xn；?a???a1,a2,...,an?。
线性插值时n?1， 二次插值时n?2，依次类推。ai可以根据在已知的x值处?的节点值来表示。节点值??e?和ai之间的关系可以用符号表示为
??e???A??a? （2-2）
式中，?A?的每一行都是?X?在相应的节点位置的计算值。
由式（2-1）和式（2-2），可得
?????N???e? （2-3）
式中，?N???X??A??1??N1,N2,...,Nn?。
矩阵?N?中的每一个Ni被称为单元形函数。在有限元计算中，形函数矩阵把单元节点值同单元场函数联系起来。根据插值函数的阶数，可以把ANSYS中的结构单元分为低阶单元（单元采用一次插值）和高阶单元（单元采用二次或更高阶次插值）。对于二维和三维单元， 将需要两个或三个空间自变量，但计算的原理和一维单元是一样的。
2.2 常用单元介绍 2.2.1 结构单元
1. MASS 21
图2-1 所示为MASS 21单元几何图。MASS 21是一个具有6个自由度的单节点质量单元，即X、Y和Z方向的平动和绕X、Y和Z轴的转动。每个方向可以具有不同的质量和转动惯量。
MASS 21单元在静态解中无任何效应，除非具有加速度、旋转载荷或惯性解除，该单元支持大变形、单元生死和线性摄动分析功能。
图2-2所示为“MASS 21 element type options（单元关键字设置）”对话框。MASS21单元包括K1，K2和K3关键字。下面将做详细讲解。
图2-1 MASS 21单元几何图
图2-2 MASS 21 单元关键字设置对话框
（1）K1关键字
MASS 21单元K1关键字用来定义单元实常数的种类。它包括两种定义实常数方式：质量-转动惯量（Masses-Inertias）和体积-密度（Volumes-Density），其中质量-转动惯量方式为ANSYS默认选项。如果用户设置定义实常数为体积-密度，则必须在材料模型中定义其密度。
（2）K2关键字
MASS 21单元K2关键字用来定义单元初始坐标系。它包括两种单元初始坐标系：平行于总体坐标系（Parall to global）和平行于节点坐标系（Parall to nodal sys），其中平行于总体坐标系为ANSYS默认选项。
（3）K3关键字
MASS 21单元K3关键字用来设置单元的转动惯量。它包括4种转动惯量：考虑转动惯量的三维质量单元（3-D w rot inert），不考虑转动惯量的三维质量单元（3-D w/o rot inert），考虑转动惯量的二维质量单元（2-D w rot inert）和不考虑转动惯量的二维质量单元（2-D w/o rot inert）。 2. LINK 11
LINK 11用于模拟液压缸和其他经历大变形的应用的结构杆单元。如图2-3所示，LINK 11单元由两个节点组成，每个节点具有X、 Y和Z方向的平动自由度。该单元支持应力刚化、大变形和单元生死分析，但不能考虑弯曲和扭动载荷且没有单元关键字。该单元具有单元阻尼功能，即可以在材料模型中定义DAMP。单元的初始长度L0和方向是从节点位置定义的。
LINK 11可以输入3个实常数。图2-4所示为“Real Constant Set Number 1， for LINK11（Link 11单元实常数输入）”对话框。在该对话框中包括3个实常数：刚度（K），单位为Nm；粘性阻尼系数（C），单位为N?mt；质量（M），单位为N?mt2。从图2-4可知，质量在LINK 11单元的两个节点平均分布，因此该单元只能使用集中质量矩阵。
图2-3 LINK11单位几何图
图2-4 “Link 11单元实常数输入”对话框
3. LINK 180
LINK 180是三维有限应变杆单元，在工程中有着广泛的应用，可以用来模拟桁架、缆索、连杆和弹簧等。如图2-5所示，LINK 180单元由两个节点组成，每个节点具有沿着节点坐标系的平动自由度。该单元为一阶插值单元，因此在杆上具有相同的应变和应力。如同铰结构一样，该单元不能承受弯矩，但支持弹塑性、粘弹性、粘塑性、蠕变、应力刚化、大变形、大应变、单元生死、线性摄动和非线性稳定性功能。
图2-5 LINK180单位几何图
如图2-5所示，LINK 180单元坐标系只有x 轴，在一个单元长度上X轴的方向由单元I节点指向J节点。温度可以作为单元在节点处的体载荷来输入。节点I处的温度T（I）默认值为TUNIF，节点J处的默认温度值为T（I）。LINK 180单元允许把截面积定义为轴向伸长率的函数。默认状态下，单元的截面积改变而体积保持不变，即使变形后也是如此。默认值适合于弹塑性分析。通过设置实常数来实现仅考虑压缩或拉伸，也可以两者都考虑。
图2-6所示为“LINK 180 element type options（LINK 180单元关键字设置）”对话框。LINK 180单元只有K2—个单元关键字。LINK 180单元K2关键字用来定义单元横截面比例。它包括两种定义方式：默认选项为执行不可压缩性，轴向拉伸功能通过截面积依比例决定（Func of Stretch）；假定截面为刚性（Rigid（classic））。
图2-6 LINK 180 单元关键字设置对话框
图2-7所示为“Real Constant Set Number 1，for LINK 180（LINK180单元实常数输入）”对话框。该对话框中包括两个控制输入选项：在AREA中输入横截面积和在ADDMAS中输入附加质量，单位为kgm。ANSYS 14.0中GUI暂不支持定义LINK180压缩和拉伸功能。只有通过命令流定义，其定义方式有“R,1,AREA,ADDMAS,TENSKEY”。上述命令中“1”表示实常数号，“TENSKEY”是用来定义LINK 180 单元的压缩和拉伸功能。当“TENSKEY =0”时，表示同时考虑拉伸和压缩（默认选项）；当“TENSKEY =1”时，表示仅考虑拉伸；当“TENSKEY =-1”时，表示仅考虑压缩。
图2-7 “Link 180单元实常数输入”对话框
4. PLANE 182
PLANE 182用于二维实体结构建模。PLANE 182单元既可作为平面单元，也可作为轴对称单元。PLANE 182单元位移插值为一阶函数，因此单元具有常应变特性。图2-8所示为PLANE 182单元几何图，该单元有4个节点，每个节点有2个自由度，分别为节点X和Y方向的平移。PLANE 182单元支持塑性、超弹性、粘弹性、粘塑性、弹性、应力刚化、大变形、大应变、初始应力、非线性稳定性、人工重画网格、自动选择单元和单元生死功能。
图2-8 PLANE 182单元几何图
图2-9所示为，“PLANE 182 element type options（PLANE 182单元关键字设置）”对话框。PLANE 182单元包括K1、 K3和K6关键字。下面做详细讲解。
图2-9 “PLANE 182单元关键字设置”对话框
（1） K1关键字
K1关键字用来设置PLANE182单元技术。用户可以选择4种单元技术：①使用B方法的完全积分（Full Integration）,该选项为ANSYS默认选项；②带沙漏控制的均匀缩减积分算法（Reduced Integration），选择该选项后用户需要在单元实常数中定义沙漏刚度系数（HGSTF），程序默认值为1，如果用户输入0，则程序按照默认值处理；③增强的应变公式（Enhanced Strain）；④简化的增强应变公式（Simple Enhanced Strn）。 （2）K3关键字
K3关键字用来设置PLANE 182单元特性。用户可以选择5种单元特性：不考虑厚度的平面应力（Plane Stress），这是ANSYS的默认选项；轴对称（Axisymmetric）；平面应变（Plane Strain）；考虑厚度的平面应力（Plane Strs w/thk）;广义的平面应变（Genrl plane strn）。 （3）K6关键字
K6关键字用来设置PLANE 182单元公式。用户可以选择两种单元特性：纯位移公式（Pure displacement），这是ANSYS的默认选项；位移/力混合公式（Mixed U/P），该选项不能应用于