四．选考题（从下列三道解答题中任选一题作答，作答时，请在答题卷上注明题号；满分
10分.）
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线 EAD交⊙O于D，DE?AC交AC延长线于点E，OE交AD于点F． （Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若
CDFoB
AC3?，求AF的值． AB5DFA
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
C:?sin2??2acos?(a?0)，已知过点P(?2,?4)的直线L的参数方程为：
?x??2?????y??4???2t2， 2t2直线L与曲线C分别交于M,N．
（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程； （Ⅱ）若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
f(x)?|2x?1|?|2x?3|.
（Ⅰ）求不等式f(x)?6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)?|a?1|的解集非空，求实数a的取值范围．
昆明市五华区新世纪高级中学2017届高三第六次模拟考试题
理科数学评分标准
一、选择题： 题号 1 2 答案 A D 二、填空题： 3 B 4 C 5 B 6 C 7 D 8 A 9 D 10 A 11 C 12 B ?y22?1 13. 55 14. (??,?3)?(0,3) 15. 16. x?43三、解答题
17.解：（Ⅰ） ?f?x??cos?2x???2??33???sin2x?cos2x?3sin?2x??.......3分 ??cos2x?3?223???5????k?Z?........6分 f?x?的最小正周期T??，单调递增期间是k??,k????1212??（Ⅱ）由正弦定理得：
a13， ??πsinAsinsinC6∴sinC?3，???......?............?..8分 2π2π或．?????..10分 33ππ2ππ当C?时A?；当C?时，A?．（不合题意，舍） .......?11分
3326∵0?C?π， ∴C?所以?ABC为直角三角形 ..........??12分
18解：(Ⅰ）
成绩在?13,16?的频率：0.04?0.18?0.38?0.6.........................3分 若用样本估计总体，则总体达标的概率为0.6 从而?～B(45，0.6） ?E??45?0.6?27(人)，D?=10．8....................6分
2?2列列联表联表如下：（Ⅱ）依据题意得相关的
性别 是否达标 达标 不达标 合计 ..........9分 2男 a=24 c=8 32 女 b=6 d=12 18 合计 30 20 n=50 50?(24?12?6?8)2K??8．333
32?18?30?202由于K>6．625,故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”.
解决办法：可以根据男女生性别划分达标的标准......12分
19．证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD?CD?AB?2．在?ADE中，AE?3，DE?1， ∴AD2?DE2?AE2．∴?AED?90?，即AE?CD．
又AB??CD， ∴AE?AB．...... .......2分
∵PA?平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA?AE．又∵PA?AB?A， ∴AE?平面PAB，............4分
又∵AE?平面AEF， ∴平面AEF?平面PAB． ..........6分 （Ⅱ）解法一：由（1）知AE?平面PAB，而AE?平面PAE， ∴平面PAE?平面PAB ............6分 ∵PA?平面ABCD，∴PA?CD． 由（Ⅰ）知AE?CD，又PA?AE?A ∴CD?平面PAE，又CD?平面PCD， ∴平面PCD?平面PAE．
∴平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面．...........8分
所以，?APE就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角．.....9分 在Rt?PAE中，PE2?AE2?PA2?3?4?7，即PE?7．...........10分
又PA?2，∴cos?APE?27?27． 727．..........12分 7所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为
理（Ⅱ）解法二：以A为原点，AB、AE分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系A?xyz，如图所示．因为PA?AB?2，AE?3，所以，
A(0,0,0)、P(0,0,2)、E(0,3,0)、C(1,3,0)， ????????????z 则PE?(0,3,?2)，CE?(?1,0,0)，AE?(0,3,0)．...............7分 P 由（Ⅰ）知AE?平面PAB，
???故平面PAB的一个法向量为n1?(0,1,0)．....................8分 ???PCD设平面的一个法向量为n2?(x,y,z)， ???????F ?n?PE?0?3y?2z?0?2?则??? ，即?，令y?2， ??????x?0n?CE?0???A ?2???则n2?(0,2,3)． ..................10分
x B D E C y
????????????n1?n2227???????∴cosn1,n2??77n1?n2
．
所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为20．解：（Ⅰ）因为抛物线C1的焦点是F1(?1,0)，
27．.....12分 7?c?1?则?c1，得a?2，则b?22?12?3，
???a2x2y2??1．....................4分 故椭圆C的方程为43（Ⅱ）显然直线l的斜率不存在时不符合题意，可设直线l：y?k(x?1)，设D(x1,y1)，
?????????E(x2,y2)，由于，则2DF2?F2E?2(1?x1)?x2?1?x2?3?2x1??；.........................6分 ??y2??2y1??2y1?y2?y?k(x?1)221k2k?222?1?0， 联立?x，得(?)x?kx?y24333??1?3?48k24k2?12则 x1?x2?，......① x1x2?，.........②，将x2?3?2x1代入①、
3?4k23?4k2②得：
8k24k2?12523x?2x?k?? 3?x1?，......③ ，.....④ ，由③、④得， 113?4k23?4k229?4k271 x1?，x2?3?2x1??，................... 10分 2?3?4k42551353(??1)?（i）若k??时，y1??， 5，y2??22248135735)，D(,?)，kGD?即G(?,?2448 直线GD的方程是y?（ii）当k??3535?84?5,， 716?423551?(x?)； 46253551??(x?)．......12分 时，同理可求直线GD的方程是y?24621ax2?(2?a)x?121．解：（Ⅰ） f'(x)??， .............2分 ?x(x?1)2x(x?1)2
91，令f'(x)?0，得x?2，或x?，.....................3分 221∴函数f(x)的单调增区间为(0,)， (2,??)． ...................4分
2∵a? （Ⅱ）∵
g(x2)?g(x1)g(x2)?g(x1)??1，∴?1?0，
x2?x1x2?x1∴
g(x2)?x2?[g(x1)?x1]?0，.........................5分
x2?x1设h(x)?g(x)?x，依题意，h(x)在?0,2?上是减函数． 当1?x?2时， h(x)?lnx?a1a?x，h'(x)???1， x?1x(x?1)2(x?1)21?(x?1)2?x2?3x??3对x?[1,2]恒成立， 令h'(x)?0，得：a?xx11?3，则m'(x)?2x?3?2， xx1∵1?x?2，∴m'(x)?2x?3?2?0，
x设m(x)?x?3x?2∴m(x)在[1,2]上是增函数，则当x?2时，m(x)有最大值为
27，∴2a?27．........9分 2a1a?x，h'(x)????1， x?1x(x?1)2当0?x?1时， h(x)??lnx?(x?1)21?(x?1)2?x2?x??1， 令h'(x)?0，得： a??xx11?1，则t'(x)?2x?1?2?0，∴t(x)在(0,1)上是增函数， xx27∴t(x)?t(1)?0，∴a?0，综上所述，a?...............12分
2
设t(x)?x?x?2四、选考题
22．选修4—1：几何证明选讲
证明：（Ⅰ）连接OD，可得
??OAD??DAC ?ODAOD∥AE...............3分
又AE?DE?ECDFAOHBOD?DE
?DE是⊙O的切线．.....5分
（Ⅱ）过D作DH?AB于H，则有?DOH??CAB
?cos?DOH?cos?CAB?AC3?． AB5
设OD?5x，则
AB?10x,OH?3x,DH?4x?AH?8x,AD2?80x2...........8分
2由?ADE∽?ADB可得AD?AE?AB?AE?10x ?AE?8x
又?AEF∽?ODF，
AFAE5??...................10分 DFDO823．选修4—4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）y2?2ax,y?x?2............................5分
??x??2??（Ⅱ）直线l的参数方程为??y??4???2t2（为参数）,
t2t2代入y2?2ax得到t2?22(4?a)t?8(4?a)?0,
则有t1?t2?22(4?a),t1?t2?8(4?a)....................8分
因为|MN|2?|PM|,|PN|,所以(t1?t2)2?(t1?t2)2?4t1?t2?t1?t2解得
a?1..........10分
24．选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ）原不等式等价于
331??1?x???x?x?????或?2或?..3分 222???(2x?1)?(2x?3)?6??(2x?1)?(2x?3)?6???(2x?1)?(2x?3)?6解之得
3131?x?2或??x?或?1?x??即不等式的解集为2222{x|?1?x?2}............5分
（Ⅱ）?f?x??2x?1?2x?3??2x?1???2x?3??4...................8分
?a?1?4，解此不等式得a??3或a?5 .........................10分