小学六年级奥数
【例 16】 如图，长方形ABCD中，BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方
形ABCD的面积．
AGDFC
AGDFC
B【解析】 连接AE，FE．
EBE因为BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，所以S因为SDEF3111?(??)S长方形ABCD?S长方形ABCD． 53210SAFD111?S，AG:GF?:?5:1，所以SAGD?5SGD?AEDF10平方厘米，所以长方形ABCD2210?12平方厘米．因为SAFD?1S长方形ABCD，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．
6
【例 17】 如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．
BCGAD
【解析】 因为M是AD边上的中点，所以AM:BC?1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道
MS△AMG:S△ABG:S△MCG:S△BCG?12（:1?2）（:1?2）:22?1:2:2:4，设S△AGM?1份，则S△MCD?1?2?3
份，所以正方形的面积为1?2?2?4?3?12份，S阴影?2?2?4份，所以S阴影:S正方形?1:3，所以
S阴影?1平方厘米．
【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘
米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米．
ADFBEC
2S梯形?（1?2）?9(平方厘米)，
【解析】 连接DE，根据题意可知BE:AD?1:2，根据蝴蝶定理得
S△ECD?3(平方厘米)，那么S
ABCD?12(平方厘米)．
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【例 18】 已知ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是
平方厘米．
AODAODBCEBCE
【解析】 连接AC．
由于ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，所以CE:AD?2:3，
根据梯形蝴蝶定理，SCOE:SAOC:SDOE:SAODABC?22:2?3:2?3:32?4:6:6:9，所以S?SACDAOC?6(平
方厘米)，SAOD?9(平方厘米)，又S6?15?21(平方厘米)．
?6?9?15(平方厘米)，阴影部分面积为
【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分
的面积是 平方厘米．
A9214BEDA921CBO4
DEC
2【分析】 连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S?OCD?S?OAE．
根据蝴蝶定理，S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?4?9?36，故S?OCD?36， 所以S?OCD?6(平方厘米)．
【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分
的面积是 平方厘米．
A8162BEDA816CBO2EDC【解析】 连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S?OCD?S?OAE．
根据蝴蝶定理，
S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?2?8?161S2，故
S?OCD2?16，所以
S?OCD?4(平方厘米)．
另解：在平行四边形ABED中，S?ADE?ABED1???16?8??12(平方厘米)， 2所以S?AOE?S?ADE?S?AOD?12?8?4(平方厘米)，
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8?2?4?4(平方厘米)．
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【例 19】 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余
下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．
AE25O8F?BAE25O8F?BD
【解析】 连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以S?EOD?SDCCFOC，又根据蝴蝶定理，S?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD，
所以S?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD?2?8?16，所以S?EOD?4(平方厘米)，S?ECD?4?8?12(平方厘米)．那
么长方形ABCD的面积为12?2?24平方厘米，四边形OFBC的面积为24?5?2?8?9(平方厘米)．
【例 20】 如图，?ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形DEFG的
面积48，AK:KB?1:3，则?BKD的面积是多少？
DKBEAGDKAG
【解析】 由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC中，?BDK和
11?ACK的面积是相等的．而AK:KB?1:3，所以?ACK的面积是?ABC面积的?，那么?BDK的
1?341面积也是?ABC面积的．
4由于?ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM?DE，可见?ABM和?ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以?ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48．
1那么?BDK的面积为48??12．
4【例 21】 下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中
m点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，(m?n)的值等
n于 ．
AHDAHDFCBEMFCEGEG
【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都
比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M．
1左图中AEGD为长方形，可知?AMD的面积为长方形AEGD面积的，所以三角形AMD的面积为
411111 12???．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为1??4?．
24882第 13 页 共 25 页 BFCBFC小学六年级奥数
AHDAHDMEGENGBFCBFC如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N． 可知EF∥AC且AC?2EF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的
1，所以三角形BEF 的面4113111积为12???，梯形AEFC的面积为??．
288248在梯形AEFC中，由于EF:AC?1:2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：
31112:1?2:1?2:22?1:2:2:4，所以三角形EFN的面积为?，那么四边形BENF的面积?81?2?2?42411111为? ?．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为1??4?．824663m311那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为:?3:2，即?，
n223那么m?n?3?2?5．
【例 22】 如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD?DF?FB，
则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB? ．
ADFBEGC【解析】 设S△ADE?1份，根据面积比等于相似比的平方，
因此S△AFG?4份，S△ABC?9份，
所以S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，S△ADE:S△ABC?AD2:AB2?1:9，
进而有S四边形DEGF?3份，S四边形FGCB?5份，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB?1:3:5
【巩固】如图，DE平行BC，且AD?2，AB?5，AE?4，求AC的长．
ADBE 【解析】 由金字塔模型得AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:5，所以AC?4?2?5?10 【巩固】如图， △ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行， MCADFEGNQC第 14 页 共 25 页 PB小学六年级奥数
AD?DF?FM?MP?PB，则
S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB? ．
【解析】 设S△ADE?1份，S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，因此S△AFG?4份，进而有S四边形DEGF?3份，
?5份，S四边形MNQP?7份，S四边形PQCB?9份．
同理有S四边形FGNM所以有
S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?1:3:5:7:9
【例 23】 如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC?1:3，AF与BE相交于点G，求S△ABG
ABABABGFGFGFD
【解析】 方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有AB:CM?BF:FC?1:1，
因此CM?4，根据题意有CE?3，再根据另一个沙漏有GB:GE?AB:EM?4:7，所以
ECDECMDEC432??(4?4?2?)． ABE1111方法二：连接AE,EF，分别求S△ABF?4?2?2?4，S△AEF?4?4?4?1?2?3?2?2?4?7，根S△ABG?据蝴蝶定理S△ABF:S△AEF?BG:GE?4:7，所以S△ABG?4S△4?74432S△ABE??(4?4?2)?． 4?71111
【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点， BF交EC于M，求?BMG的面积．
AFFDIADEBHMGC
EMHG
BC【解析】 解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF//BD，而FD:BC?FH:HC?1:2，
EB:CD?BG:GD?1:2所以CH:CF?GH:EF?2:3， 并得G、H是BD的三等分点，所以BG?GH，所以
2BG:EF?BM:MF?2:3，所以BM?BF，S?BFD5111?S?ABD??S222ABCD1?； 41212111S???S????又因为BG?BD，所以?BMG． ?BFD35354303 解法二：延长CE交DA于I，如右图，
可得，AI:BC?AE:EB?1:1，从而可以确定M的点的位置，
21 BM:MF?BC:IF?2:3，BM?BF，BG?BD(鸟头定理)，
53 可得S?BMG?
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