2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，
如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的
程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分． 13．2 14．2 15．20? 16．8 附部分试题解答：
10．小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60．
?2?11．f(??x)??f(?x)可知，函数f(x)的对称中心为(?,0). 对任意x?R，都有
33??f(x)?f(?)，知对称轴是x??，可知f(0)?0，故b=0．
66112． 令aex?1?1?exln(x?1)?0，得x?ln(x?1)?ae?1，
e1设h(x)?x?ln(x?1)，条件转化为y?h(x)与y?ae?1的图象在(1,??)上有交点，
e11ex?x?1?h?(x)??x???0，得h(x)在[0,??)上为增函数，
ex?1ex(x?1)?h(1)?ae?1，得a?1?eln2.
16．依题意可知：a2?2a?1??(b2?2b?1)，整理得
2(a?1)?(b?1)?4，
?a?b?1，?方程表示如图一段弧AB，
(a?c)2?(b?c)2可表示弧上一点到直线y=-x的距离的
平方，
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?(a?c)2?(b?c)2的最小值是8．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．
解法一：（Ⅰ） ?an?2Sn?1， ?4Sn?(an?1)2．………………………………1分 当n?1时，4S1?(a1?1)2，得a1?1．………………………………2分 当n?2时，4Sn?1?(an?1?1)2，
?4(Sn?Sn?1)?(an?1)2?(an?1?1)2，………………………………3分
?4an?an2?2an?an?12?2an?1，即(an?an?1)(an?an?1)?2(an?an?1)， ?an?0, ?an?an?1?2．………………………………4分
?数列{an}是等差数列，且首项为a1?1，公差为2，………………………………5分 ?an?1?2(n?1)?2n?1．………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，bn?(2n?1)?1， 3n1111?Tn?1??3?2?5?3?????(2n?1)?n，——①………………………………7分
333311111Tn?1?2?3?3?????(2n?3)?n?(2n?1)?n?1，——②………………………………833333分
211111①–②得Tn??2(2?3?????n)?(2n?1)?n?1………………………………9分
33333311?n?1211??2?33?(2n?1)?n?1，………………………………10分
1331?3n?1．…………………12分 n3解法二：（Ⅰ）同解法一. 化简得Tn?1?（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，bn?(2n?1)?设bn?(2n?1)?1， 3n1111， ?(An?B)??[A(n?1)?B]??(?2An?3A?2B)?3n3n3n?13n理科数学试题 第 7 页 共 15 页
??2A?2,?A??1,解得? ??B??1.3A?2B??1,???bn?(2n?1)?…9分
11111，……………………………?(?n?1)??(?n)??n??(n?1)?3n3n3n?13n?13n?Tn?b1?b2?????bn
?(1??1?111111?2?)?(2??3?)???[n??(n?1)?] 0112n?1n333333n?1.………………………………12分 3n18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．
解:（Ⅰ）连结DF，BF．
在矩形ABCD中，AD?23,CD?6,
?AC?43,?CAB?300, ?DAC?600．………………………………1分
D C
F A 在?ADF中，∵AF?3, B?DF2?DA2?AF2?2DA?AF?cos?DAC?9，．………………………………2分
∵DF2?AF2?9?3?DA2，
?DF?AC，即D?F?AC．………………………………3分 又在?ABF中，
BF2?AB2?AF2?2AB?AF?cos?CAB?21，………………………………4分 D? ?中，D?F2?FB2?32?(21)2?D?B2, ∴在?DFB?,………………………………5分 ?BF?DFF O A 又?AC?FB?F,
E ??平面ABC． ∴DF∴D?F?BC．………………………………6分 B （Ⅱ）解：在矩形ABCD中，过D作DE?AC于O，并延长交AB于E. 沿着对角线AC翻折后，
由（Ⅰ）可知，OE,OC,OD?两两垂直，
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C
????以O为原点，OE的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O?xyz，则 O(0,0,0),E(1,0,0),D?(0,0,3),B(3,23,0),………………………………7分 ?EO?平面AD?F,
?????OE?(1,0,0)为平面AD?F的一个法向量． ………………………………8分 设平面BD?F的法向量为n?(x,y,z),
??????????F(0,t,0)， ?BD??(?3,?23,3),BF?(?3,t?23,0),
????????0,?n?BD???3x?23y?3z?0，由????得? ????n?BF?0,??3x?(t?23)y?0，取y?3,则x?t?23,z?t , ?n?(t?23,3,t)．………………………………10分 ????|n?OE||t?23|2????, 即?cos?, ?224|n||OE|2(t?23)?9?t??t?3． 4?当CF?11???B的大小是． …………………12分 3时，二面角A?DF4419．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分． 解：（Ⅰ）如图，根据题意得：
CD?10，CE?103，AC?107，?DCE?700?400?300．
在?CDE中，由余弦定理得， DE?CD2?CE2?2CD?CE?cos?DCE
3 2?102?(103)2?2?10?103??10, ………………………………2分
所以客轮的航行速度V1?10?2?20（海里/小时）． ………………………………3分
因为CD?DE，所以?DEC??DCE?300， 所以?AEC?1800?300?1500．
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在?ACE中，由余弦定理得，AC2?AE2?CE2?2AE?CE?cos?AEC， 整理得：AE2?30AE?400?0，
解得AE?10或AE??40（不合舍去）． ………………………………5分 所以客轮从E处到岛A所用的时间t1?小张到岛A所用的时间至少为t2?1由于t2?t1?，
6101?小时， 2021077?小时． 303所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮………………………………6分
54（Ⅱ）在?ABC中，cos?BAC??，sin?ACB?,
55253所以?ACB为锐角，sin?BAC?，cos?ACB?．………………………………7分
55所以sinB?sin[1800?(?BAC??ACB)]
?sin(?BAC??ACB)
?sin?BACcos?ACB?cos?BACsin?ACB
32545???? 5555?25．………………………………8分 25由正弦定理得，
BCAC, ?sin?BACsinB35?1535,………………………………9分
107?所以BC?2525所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为
153512150(V?V?50)?1535(V?1?)?16535V22V(V?(0,30]),………………………………10分 f(V)?
150当且仅当V?，即V?10时，f(V)min?16535（元）………………………………11
2V分
所以若小张由岛C直接乘小艇去B市，其费用至少需165理科数学试题 第 10 页 共 15 页
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