在中学数解题中，有的题目比较抽象，不易理解；有的题目用常规方法解比较繁杂，使得问题不易解决。通过数形结合，可以使问题化难为易、化繁为简、变抽象为具体. 在解决有关图形的问题时，我们常通过引入数字参数、角参数或建立坐标系，把图形问题转化为数字式式子的计算问题来解决。同样，有关数字式子的问题，也可以通过画出相应的图形，根据图形的直观形象，迅速找到可靠的解题思路，使有些看似很难、很繁或很抽象的问题，得到简捷、直观的解决。在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学数学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的课程。
2 数形结合思想的意义
数形结合思想的提出，不仅为几何学的研究提供了新的方法，使得很多难以解决的问题变得简单易解，还为几何学的发展注入了新的活力，为后来建立微积分理论奠定了基础。使得空间几何结构实现了数量化，而数量化了的空间几何结构已不再局限于一维、二维和三维，它可以使n维乃至无穷维。并且可以把曲线看着是由“点”通过运动而生成的，这使人们对形的认识由静态的发展到了动态。数形结合的思想使得把复杂问题简单化、抽象问题具体化，让人们更清楚的看清现实世界中的万事万物。
3.数形结合原则
数形结合一般遵循以下三个原则：
3.1等价性原则
等价性原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质应能对应，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系具有一致性。
3.2 双向性原则
双向性原则是指几何形象直观的分析与代数计算能够互相解释。
3.3 简单性原则
简单性原则是指数形转换时尽可能使构图和解析式简单合理，即使几何形象
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清楚又使代数计算简洁明了。
4 数形结合思想在解题中的应用 4.1数形结合思想在解方程中的应用
处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题
例 1: 已知关于x的方程(x2?4x?3)2?px，有4个不同的实根, 求实数p 的取值范围。
分析: 设y?(x2?4x?3)2?x2?4x?3与y?px这两个函数在同一坐标系内, 画出这两个函数的图像, 如图1。可知：
图1
(1)直线y?px 与y??(x2?4x?3) , x??1,3?相切时原方程有3个根。 (2) y?px与x轴重合时, 原方程有两个解, 故满足条件的直线y?px应
?y??(x2?4x?3)介于这两者之间, 由:?
?y?px得x2?(p?4)x?3?0, 再由??0得,p?4?23 , 当p?4?23 时,x??3??1,3?舍去, 所以实数p的取值范围是0?p?4?23。 例2 方程lgx?sinx的实根的个数是（）．
A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个
解：方程lgx?sinx的解是函数y?lgx与
y?sinx的交点的横坐标，故两个函数图象交
点的个数就是方程lgx?sinx解得个数，在 图2
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同一直角坐标系中作出y?lgx与y?sinx的函数图象，如上图所示．不难发现这两个函数图象有3个交点，所以方程lgx?sinx有3个实根，故选A．
讲评：这种通过图形得出答案的途径，由于作图的精确性难以要求很高，因此对于需要准确或精确地数值为答案的情形就不适用，只能用于答案比较粗略或者说是示意性的题目。这顺便也说明，数形结合方法的使用并不是万能的，有一定的局限性，只能根据具体问题灵活使用。
4.2 数形结合在解不等式题中的应用
处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路；有些不等式问题，当用代数方法讨论比较繁杂时，可以利用图形将代数问题转换成几何问题，结合几何知识探求，可以使问题更容易解决。
1例 3: 若不等式x2?logax?0, 在(0,)内恒成立, 则a的取值范围是什么?
21分析: 原不等式可化为x2?logax，x?(0,)，设y1?x2与y2?logax，在
2111坐标系中作出y1?x2，x?(0,)的图像，如图当x?时，y1?x2?，显然, 当
22411x?(0,)时，y1?就恒成立。
241①当a?1 时, 在(0,)上y2?logax图像( 如图3 )在y1?x2的图像下方,
2不合题意。
图3
1②当0?a?1 时，y2?logax在(0,)上的图像（ 如图4）是减函数。只需
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y2?11 ，就可以使x2?logax， x?(0,)恒成立。 42
图4
故loga1111?1?，log1a?4，所以a?()4?, 综上有a??,1?。 24216?162例4 设a为实数，求证：a2?a?1?a2?a?1?1. 证明：原不等式可变形为：
1313(a?)2?()2?(a?)2?()2?1.
22221313设A(a?,)，B(a?,)，见右图，
2222显然A、B两点不重合，且O、A、B不共线， 故有 OA?OB?AB即图5
1313(a?)2?()2?(a?)2?()2?1.
22224.3数形结合思想在解决三角函数问题中的应用
有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
?pp?例 5： 设x??,?，求证: cscx?cotx?2?1.
?42?分析: 由条件联想等腰三角形,不妨构造一个等腰直角三角形ABC, 如图6，
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设?CDB?x, 利用AD?DB?AB?2，可得cscx?cotx?2?1.
图6
例 6：已知0?x?y?求证：
p， 2p?2sinxcosy?2sinycosz?sin2x?sin2y?sin2z. 2证明: 如图7,在单位圆中,设?AOD?x,?BOD?y,?COD?z,则A,B,C点的坐标分别为(cosx,sinx),(cosy,siny),(cosz,sinz).
图中三个矩形面积分别为2sin(cosx?siny),2siny(cosy?sinz),2sinzcosz.
显然，这三个矩形面积之和小于半圆面积， 即有
p?2sinxcosy?2sinycosz?sin2x?sin2y?sin2z. 2
图7
4.4数形结合思想（代数方法）解决几何问题
我们在解某些几何题的时候，应用传统的几何方法不易解决或比较复杂时，可以借助三角函数的性质和图象，把几何图形中有关边与角的关系式转化为三角
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