函数的关系式，再借助三角函数的有关概念与性质解决问题。
例7 如右图所示，四边形ABCH、HCDG、GDEF都是单位正方形．
求证：?ADC??AEC?AHGF?4.
CDE解：此题如果用传统的初等几何思路来解，是比较 B困难的，但是如果用数形结合思想，将将几何问题 图8
转化为三角函数来考虑，就相当直观和简单： 由图可知：
tan?ADC?11,tan?AEC?,2311?tan?ADC?tan?AEC23?1 ?tan(?ADC??AEC)??1?tan?ADC?tan?AEC1?1?123???ADC??AEC?.
44.5数形结合思想在解决线性规划和值域中的应用
线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。
例8：已知1?x?y?2且2?x?y?4,求4x?2y的范围。
解此题可直接利用代数方法用换元法去求解, 这里用数形结合法来解决。 在平面坐标系中作出直线x?y?2，x?y?4 , x?y?1, x?y?2 ,则
1?x?y?2和2?x?y?4,表示平面上的阴影部分(包括边界) ,如图9所示，令m，显然 m为直线系4x?2y?m在y轴上截距2倍的相231反数,易看出,直线4x?2y?m过阴影最左边的点 A(,)时, m 取最小值
224x?2y?m,则y?2x?5 ；过阴影最右边的点C(3,1) 时, m 取最大值10。即4x?2y的范围是?5,10?。
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图9
该题是用线性规划的思想,数形结合解决了具有约束条件的函数的最值问题。函数图象可以形象直观表示出函数所具有的性质，所以运用数形结合解函数题可以更方便简洁。
例9 试求函数y? 解：y?2?sinx的值域．
2?cosx?t??cosx2?sinx2?sinx?，令?,则
2?cosx2?(?cosx)?s?sinx有t2?s2?1，
如右图所示，y的几何意义可看作是定点A(2,2)与单位圆上的动点P(t,s)连线的直线的斜率k，则直线PA的方程为（点斜式）:
y?2?k(x?2),即：kx?y?2?2k?0 图10
易知，由单位圆圆心(0,0)到直线AP的距离小于等于圆的半径R?1，可得，
d?2?2k1?k22?1
?4?74?7?,即3k?8k?3?0解得k???， 33??所以函数y??4?74?7?2?sinx,的值域为??.
2?cosx3??3 12
4.6 数形结合在解概率题中的应用
许多概率问题，若能借助于坐标平面或其它模型将数的问题转化为形的问题，以形助数，不仅能迅速找到解题的切入点，而且还能优化解题过程，提高解题速度。
例10 在集合?能使代数式(x,y)0?x?5,0?y?4?内任取1个元素，成立的概率是多少？
图11 解：如图11所示，?(x,y)0?x?5,0?y?4?
xy19??4312?xy19?所表示的区域为矩形的内部（包括边界）的点集，?(x,y)???表示直线
4312??xy19??及其上方所有点的集合，由右图可知，满足条件的点的集合为阴影部4312分，故所求概率为 P?s阴影0.5?4?33??. s矩形4?510例11:两人相约在8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟方可离去，试求这两人能会面的概率．
解：如图12所示，以x、y分别表示两人到达时刻， 建立直角坐标系则0?x?60,0?y?60,两人能会
面的充要条件是x?y?20，可能的结果是边为60的 图12
正方形里面的点，能会面的点的区域如图中的阴影部分，故所求概率为：
s阴影602-4025P???. 2s矩形609 13
4.7 利用数形结合解题应该注意的误区
在数学解题中，用数形结合思想解题直观、形象、简捷，为我们分析问题、简化解题过程开辟了一条重要的途径。但是在解决具体问题中，图形的准确性、存在性及数学符号书写表达的规范与否，都会对解题的正误产生影响。在利用数形结合思想解题时，有可能由于缺乏对图形的准确性、存在性的认识，构图不准确或不具有一般性或片面性，致使解题发生失误。 例12 方程x2?2x的解的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
错解：在同一坐标系内作出函数y?x2和y?2x的图象，如下图所示，它们有两个交点．
图13
分析：上述解法由于作图的粗糙而导致误判． 正解：事实上，当x?0时，两个图象显然只有一个交点．当x?0时，考察y?x2和y?2x的增长“速度”的变化，如下图所示，可以知道它们有两个交点，即点
(2,4)和点(4,16).
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图14
例13 已知直线y?3?x和x轴、y轴分别交于A、B两点，若抛物线
y??x2?mx?1和线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．
错解：令f(x)??x2?mx?1，结合右下图可知，
要使抛物线和线段AB有两个交点，只须
?f(0)?3?f(3)?0??m ?0??32??mmf()?3??2?2解得?1?17?m?10 图15 3 分析：上述解法认为抛物线的顶点需在线段AB上方，事实上，它忽略了抛
物线的顶点在线段AB下方或在线段AB上，而抛物线与线段AB有两个不同的交点情形．
正解：将直线方程代入抛物线的方程，即得到x2?(m?1)x?4?0，要使抛物
线与线段AB有两个不同的交点，只须次方程在?0,3?内有两个不同的根．令f(x)?x2?(m?1)x?4，则：
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