2010年全国各地中考数学压轴题专集
巴驿中学朱安清收集
1．（北京市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－
2m?125mx＋x＋m－3m＋2与x轴的交点分别为原
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点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上．
（1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）．
若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值． y 1 x O 1 2．（天津市）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．
（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标． y y B C B C D D
A x A x O E O
D′ （备用图）
3．（天津市）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为E．
（Ⅰ）若b＝2，c＝3，求此时抛物线顶点E的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE＝S△ABC，求此时直线BC的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE＝2S△AOC，且顶点E
2
1
恰好落在直线y＝－4x＋3上，求此时抛物线的解析式．
4．（上海市）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P． （1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长； （2）若CE＝2，BD＝BC，求∠BPD的正切值；
1（3）若tan∠BPD＝，设CE＝x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．
3
A
A D
E A D E D
E B C P B C P B C P 图1 图2（备用） 图3（备用） 5．（重庆市）已知：如图①，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围； （2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图②，现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB，AB交于点M，N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M，N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． y y B B M
N
P
OOA x A x Q C C
图① 图②
2
6．（重庆市綦江县）已知抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式：
（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2
y
P O D
A B x
Q
C
27．（重庆市江津区）如图，抛物线y＝ax＋bx＋1与x轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． y
C
A B O x
D
8．（重庆市潼南县）如图，已知抛物线y＝
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x＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐2
标为（2，0），点C的坐标为（0，－1）． （1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由． y y D x x A A B O B O E
C C
备用图
3
9．（安徽省）如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1． （1）若c＝a1，求证：a＝kc；
（2）若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；
（3）若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k＝2？请说明理由． A A1
bc c1 b1
B B1 C1 C aa1 10．（安徽省B卷）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结OG． （1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明； F （2）求证：AE＝BF； C G （3）若OG·DE＝3(2－2)，求⊙O的面积． D
E A B O
11．（安徽省B卷）已知：抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝－1，与x轴交于A、B两点，与
2
y轴交于点C，其中A（－3，0）、C（0，－2）．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
y A O B x C ︵12．（安徽省芜湖市）（本小题满分12分）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB上一点，过M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点． （1）求证：PM＝PN； （2）若BD＝4，PA＝
3AO，过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长． 2 4
B M C O N A P D 13．（安徽省芜湖市）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、F（－B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
43，0）的直线EF向右下方翻折，3（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．
y
E B A C F O x 14．（安徽省合肥一中自主招生）已知：甲、乙两车分别从相距300（km）的M、N两地同时出发相向而行，其中甲到达N地后立即返回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）试求线段AB所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了
9h，求乙车的速度； 2（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．
y∕km y∕km
A 300 300 甲
B
273 O O x∕h 4 图1
乙 C x∕h
图2
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