材料成形基本原理（下）
??x??m??ij???yx???zx???ij?m??ij式中，?m??xy?xz???m00?????y??m?yz???0?m0????zy?z??m???00?m?
1(?x??y??z)为平均应变； 3?为应变偏张量，表示变形单元体形状变化； ?ij?ij?m为应变球张量，表示变形单元体体积变化。
（5）存在应变张量的等效应变
???23(?x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)2?6(?xy??yz??zx)222
2(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)23 26I2 =3等效应变的特点是一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变?1。等效应变又称广义应变，在屈服准则和强度分析中经常用到它。
（6）与应力莫尔圆一样，可以用应变莫尔圆表示一点的应变状态。设已知主应变?1、?2 和?3的值，且?1>?2>?3，可以在???平面上，分别以p1(?1??22，0)、p2(?1??32，0)、
p3(?2??32，0)为圆心，以r1??1??22、r2??1??32、r3??2??32为半径画三个圆。
5. 小应变几何方程和变形协调方程各如何表示？它们有何意义？
答：小应变几何方程：
1?u?v??u????(?)?xyyx?x?2?y?x?x?1?v?w??v????(?)?y??yzzy2?z?y??y1?w?u??w????(?)??z?zxxz2?x?z? ?z
物理意义：表示小变形时位移分量和应变分量之间的关系，是由变形几何关系得到的，称为小
应变几何方程，又称柯西几何方程。如果物体中的位移场已知，则可由上述小应变几何方程求得应变场。
变形协调方程：
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材料成形基本原理（下）
?2?x????zx??xy??yz(??)???x?y?z?x?y?z??2?y????xy??yz??zx?(??)???y?z?x?y?z?x??2?z????yz??zx??xy?(??)??z?x?y?z?x?y??
物理意义：只有当应变分量之间满足一定的关系时，物体变形后才是连续的。否则，变形后会出现“撕裂”或“重叠”，变形体的连续性遭到破坏。
6. 速度分量、位移增量、应变增量和应变速率增量是如何定义的？
答：速度分量：在塑性变形过程中，物体内各质点以一定的速度运动，形成一个速度场。将质点在
单位时间内的位移叫做位移速度，它在三个坐标轴方向的分量叫做位移速度分量，简称速度分量；
位移增量：物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生的位移改变量称为位移增量； 应变增量：塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量；
应变速率增量：单位时间内的应变称为应变速率，又称变形速度。在时间间隔dt内产生的应变
d?ij为应变速率增量。
7. 对数应变有何特点？它与相对线应变有何关系？ 答：对数应变特点：
（1） 对数应变适用于大变形；
（2） 叠加性 设某物体的原长度为l0，历经变形过程l1、l2到 l3，则总的对数应变为各分
量对数应变之和，即
??dll3l1l2l3l1l2l3 ?ln?ln(??)?ln?ln?ln?l0ll0l0l1l2l0l1l2l3= ? 1+ ? 2+ ? 3
对应的各阶段的相对应变为
?01?l1?l0l?ll?l； ?12?21； ?23?32 l0l1l2显然， ?03??01??12??23
这表明，对数应变具有可叠加性，而相对应变不具有可叠加性。
（3）可比性 对数应变为可比应变，相对应变为不可比应变。假设将试样拉长一倍，再压缩一半，则物体的变形程度相同。 拉长一倍时
???ln压缩一半时
2l0?ln2 l012
材料成形基本原理（下）
???ln0.5l0??ln2 l0负号表示应变方向相反。而用相对应变时，以上情况分别为 ???2l0?l0?100％ l00.5l0?l0??50％ l0 ???因而，相对应变为不可比应变。
8. 平面应变状态、轴对称应力状态各有什么特点？ 答：平面变形状态下的应力状态有如下特点：
⑴没有变形的z方向为主方向，该方向上的切应力为零，z平面为主平面，?z为中间主应力，在塑性状态下，?z等于平均应力，即?z??2?1(?x??y)??m 2⑵由于应力分量?x、?y、?xy沿z轴均匀分布，与z轴无关，所有平衡微分方程与平面应力问题相同。
⑶如果处于变形状态，发生变形的z平面即为塑性流动平面，平面塑性应变状态下的应力张量可写成：
??x?xy?ij????yx?y?00???x??y?20????0????yx??z???0???xy??x??y20?0????m00????0???0?m0? ??00?m???0??????10?或?ij??0?2??00?????2??10??2?0????yx???1??2???02????xy??1??220?0?0????m0??0???0?m0? ?00?m?????0???9. 设一物体在变形过程中某一极短时间内的位移为 u?(20?0.2xy?0.1z)?10?3 v?(10?0.1x?0.2yz)?10?3
w?(20?0.2xyz)?10?3试求：点Ａ（１，１，－１）的应变分量、应变球张量、应变偏张量、主
应变、等效应变
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材料成形基本原理（下）
1?u?v??u?xy??yx?(?)?2?y?x?x??v1?v?w?解：由几何方程?y? ?yz??zy?(?)?来求得应变分量
?y2?z?y??w1?w?u??z??zx??xz?(?)??z2?x?z??x???m1?根据公式?m?(?x??y??z)和应变球张量表达式0?3??0量
0?m00?0??求球 ?m????x??m?再根据??yx??zx??xy?xz???y??m?yz?来求应变偏张量 ?zy?z??m??先求三个应变张量不变量I1 I2 I3 代入特征方程
?3－I1?2－I2?－I3?0可求。 ?1， ?2， ?3
2(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2 3可求等效应变
10. 试判断下列应变场能否存在：
然后根据?11（1）?x?xy2,?y?x2y,?z?xy,?xy?0,?yz?(z2?y),?zx?(x2?y2)
22（2）?x?x2?y2,?y?y2,?z?0,?xy?2xy,?yz??zx?0
第十五章 屈服准则
1. 解释下列概念
条件应力；真实应力；理想塑性；弹塑性硬化；刚塑性硬化；Tresca屈服准则；Mises屈服准则；屈服轨迹；?平面；等向强化。
??2?10?3/S）标准试样，记录下来的拉答：条件应力：室温下在万能材料拉伸机上准静态拉伸（?伸力P与试样标距的绝对伸长?l之间的关系曲线称为拉伸图。若试样的初始横截面面积为A0，标距长为l0，则条件应力?0 ?0?P， A0真实应力 试样瞬时横截面A上所作用的应力Y称为真实应力，亦称为流动应力。
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材料成形基本原理（下）
Y?P A屈服准则是材料质点发生屈服而进入塑性状态的判据，也称为塑性条件。
Tresca屈服准则：1864年法国工程师H. Tresca提出材料的屈服与最大切应力有关，即当材料质点中最大切应力达到某一定值时，该质点就发生屈服。或者说，质点处于塑性状态时，其最大切应力是不变的定值，该定值取决于材料的性质，而与应力状态无关。所以Tresca屈服准则又称为最大切应力不变条件，当σ1＞σ2＞σ3时，则
?1－?32＝C 或 ?1??3??s
密塞斯（Von Mises）屈服准则：即当等效应力 达到定值时，材料质点发生屈服。材料处于塑性状态时，其等效应力是不变的定值，该定值取决于材料的性质，而与应力状态无关。表达式如下：
??1(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?C 2常数C根据单向拉伸实验确定为σs，于是Mises屈服准则可写成：
(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?2?s2
2. 如何用单向拉伸试验绘制材料的真实应力-应变曲线？有哪些常见的简化形式？
答： ①真实应力 试样瞬时横截面A上所作用的应力Y称为真实应力，亦称为流动应力。
Y?P （16-2） A由于试样的瞬时截面面积与原始截面面积有如下关系：
A(l0??l)?A0l0
所以 Y?P(1??)??0(1??) （16-3） A0②真实应变 设初始长度为l0的试样在变形过程中某时刻的长度为l，定义真实应变为 ??lnl?ln(1??) （16-4） l0③真实应力-应变曲线 在均匀变形阶段，根据式（16-3）和（16-4）将条件应力-应变曲线直接变换成真实应力-应变曲线，即Y??曲线，如图16-2所示。在b点以后，由于出现缩颈，不再是均匀变形，上述公式不再成立。因此，b点以后的曲线只能近似作出。一般记录下断裂点k的试样横截面面积AK，按下式计算k点的真实应力-应变曲线。 YK?APK, ??ln0 （16-5）
AKAK这样便可作出曲线的b'k'段。
但由于出现缩颈后，试样的形状发生了明显的变化，缩颈部位应力状态已变为三向拉应力状态，
实验表明，缩颈断面上的径向应力和轴向应力的分布如图16-3。颈缩边缘处受单向拉伸应力Y作
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