初中三年级数学竞赛试题（四）
满分：100分 时间：120分钟 命题：湖艓
一、（14分）如图，在梯形ABCD中，AB//DC,AB?3,BC?6,CD?8,DA?4，
（1）（10分）T为梯形内部一点，将梯形分成四个三角形；若这四个三角形中
存在一对相似三角形，试写出所有可能的情况，并确定点T的位置，或说明这样的点T有什么特点； （2）（4分）R为CD中点，过点R作RS?BC于点S，则?SRA?4?RAC。
二、（10分）已知?O1、?O2与?O3有公共点T，点O2在?O1上，点O3在?O2上，点O1在?O3上，且?O1内切于?O3，若r1、r2和r3分别为?O1、?O2和?O3的半径， （1）（6分）请作出草图，并求出r1:r2:r3；
（2）（4分）记?ORS2与?O1、?O3的另一个交点分别为R、S，试求r。
1
三、（12分）在正n（n?5）边形A1A2?An中，连结从点A1出发的所有对角线A1A3、A1A4、?、A1An?1， （1）对于正整数i（3?i?n?2），?AiA1Ai?1? （用n表示），?A1Ai?1Ai? （用i，n表示）； （2）我们知道，当n为偶数时，可以在正n边形中找出正
n2边形，如A1A3A5?An?1；
现在，对于任意n?5，我们从正n边形的对角线A1A3、A1A4、?、A1An?1上分别确定点B1、B2、?、Bn?3，使得A1B1?A1B2???A1Bn?3?A1A2，那么，折线A2B1B2?Bn?3An是正 （用n表示）边形的一部分； 对于n?3k?2(k?3)，我们从正n边形的对角线A1A5、A1A8、?、A1An?3上分别确定点C1、C2、?、Ck?1，使得A1C1?A1C2???A1Ck?1?A1A2，那么，折线A2C1C2?Ck?1An （填“是”或“不是”）某正多边形的一部分；
（3）在（2）中，若A23A2?A2B1?A3A1，则n= ；若A1A2?A1A3(A1A2?B1A2)，则n= 。
四、（12分）如图，在矩形ABCD中，AB?30cm,AD?40cm，点O为对角线交点，P、Q三点同时从A点出发，分别以1cm/s的速度沿线段AB、AC方向运动；射线AX为?BAC的角平分线，点T也与P、Q同时从A点出发，它与P、A、Q三点构成一运动的菱形PAQT；当点Q到达O点后，点T即刻以原速沿原路返回，点P到达B点后也以原速即刻沿原路返回，而点Q仍以原速向C点运动，直到P、T、Q三点共线时，它们停止运动， （1）（3分）这三点运动多久后，D、Q、P三点共线？ （2）（5分）C、T、P三点是否有可能共线？若有可能，请求出运动时间；若不可能， 请说明理由； （3）（4分）DT的长何时取得最小值？并求出这个最小值。
?x?3y?85?五、（8分）解关于整数x、y的方程组：?x2?13x?7?3xy?7?。
?x1x97?(?5)(x?)???yy84y
六、（12分）我们知道，一元二次方程x2?7x?18?0有两根x1??2,x2?9；现给出整系数一元二次方程
ax2?bx?c?0，并分别用它的系数去替代已知方程的相应系数，可得到三个不同的一元二次方程：
ax2?7x?18?0,x2?bx?18?0,x2?7x?c?0；若这四个方程均有实根，且都是有理根；已知a为奇数，c
为偶数，但不能被4整除，请问a、b、c有多少种不同的取值？ 七、（1）（6分）在平面直角坐标系中取三点A、B、C，若它们满足 的条件，则必然存在一组实数a、b、c，使得这三点同时在抛物线y?ax2?bx?c上；若对于抛物线y?ax2?bx?c，
A(c,a),B(2b,a),C(?a?c,c)是其函数图像上的不同三点，且3?1?c?3?122，试求抛物线的方程；
（2）（6分）在平面直角坐标系中，对于任意抛物线y?ax2?bx?c和反比例函数y?kx，它们的图像可能
2有 个交点；若抛物线y?a2x2?4x?k与反比例函数y?kx有且只有两个交点，那么抛物线
顶点 （填“一定”“、不一定”或“一定不”）在反比例函数图像上；对于实数k?0，抛物线y?a2x2?4x?kk2的顶点恰在反比例函数y?x的图像上，试求出两函数图像所有交点的坐标（用k表示）。
八、（10分）有一个竖直放置的长方体水箱，箱体上标有刻度，由于侧面某处有一条与地面平行的裂缝，因此当水箱中的水通过裂缝时，裂缝会以每分钟t(t?1)立方分米的速度往外渗水。现在用一个每分钟注水1立方分米的水龙头往水箱内注水，注到三分之一时恰好用了35分钟，注到三分之二时恰好用了77分钟，再过了50分钟水箱刚好注满。如果再加两个每分钟注水1立方分米的水龙头往内注水，那么注满这个水箱需要多长时间？
九、（1）（5分）已知正整数r?s?t满足等式
111r?s?1t?7，若r、s、t的可能取值共有n组，则n?（ ）；
A.44 B.45 C.46 D.47
（2）（5分）给定n个半径为R的圆，针对（1）中的所有情况，从每一个圆中分别切出面积为它的
77r、
s和
7t的扇形，于是有n组扇形，可以围成3n个圆锥，那么，纵切面三角形面积最大的圆锥是出自下列哪一组扇形中
（ ）？
A. r?9,s?32,t?2016 B. r?10,s?24,t?840
C. r?11,s?21,t?231 D. r?12,s?17,t?1428
九年级数学测验（四）参考答案
1.（1）解：i、当点T为梯形对角线交点T1时，?BCT1~?DAT1； 分别过点A、B作CD的垂线，垂足分别为P、Q，设DP?p，
则42?p2?62?(5?p)2，得p?1,AP?3722；
?CP?8?p?152,AC?62，
而
AT1CT?AB?3A?18281CD8，于是AT1?311C11,CT1?11CA?48211，
同理BT1DB?272471?33,DT1?3DB?3；
ii、若?BCT2~?CDT2，过点T2分别作AB延长线、CD的垂线，垂足分别为M、N， 设BM?m,MT2?n,T2C?x，
?BT2CCT?CT22CT?B2CD?34，
?T?3x,T443?BM?92B2D?x，而CN?CQ2?m，
?2232?9??m?n?(x)?m1??m992??4?2?86???(9?m)2?(37?n)2?x2，解得??n277?8171??（舍去），?22?n2?，
?14?86??(7?m)2?(37?n)2?(4x)2?247?2443?223?x?1?7?x?2?43?CT244318432?43,BT2?43,DT2?324343，
AT22?(m?3)?n2?1230143；
iii、若?ADT3~?DCT3，过点T3分别作AB、CD的垂线，垂足分别为E、F，
设AE?e,ET3?f,T3B?y，
?AT3T3AD1DT?D3CT?，
3DC?2?DT?2y,CT4y，而DF?DP?EA?133?2?e，
??5?31?e2?f2?y2?e1????2?e2??22???(1?e)2?(3722?7?197?22?f)?4y，解得?f1??（舍去），?f2??2?42，
??15?e)2?(37?f)22?y1?22?4165?(22?16y???y?2?33?AT41653?33,CT1653?1633,DT81653?33，
BT27663?(3?e)?f2?；
33iv、若?ABT4~?T4CB，则?BT4A??CBT4，
?AT4//BC，
延长AT4交CD于点G，过点T4分别作AB、CD于点H、I，设T4A?z，
易知四边形ABCG为平行四边形，有?BAT4??BCG，
?cos?BATAH4?AT?cos?BCG?3H?744,AH?34z,T44z，
?BT224?(3?34z)?(72924z)?9?2z?z，
又
AT4?BT4T?AB，
4BCBT4C?BT221?3334?6z，得z1?4（舍去），z21?3332?4，
?AT4?21?3334,BT22?364?6z?34，
CTBC4?AB?BT?18?322?36， 46z2DT3772134?(2?4z)?(2?4z)2?z2?92z?16?6z?7?154?18332；
v、若?ADT5~?T5CB，则
DT5CB?ADT?AT5BC?24；
5CT5B，此时T点使得CT5?DT5?AD?vi、若?ADTAT6DT6AD26~?CBT6，则
CT???6BT6CB3,?AT6D??CT6B，
?BT6?DT6CT,?BT6D??BT6A??AT6D??BT6A??CT6B??CT6A，
6AT6则?DBTT66~?ACT6,BT6CT?D?BD?146AT6CA?27626，
过点T6分别作AB、CD的垂线，垂足分别为J、K， 设AJ?j,JT6?k,CT6?3u,DT6?2v，
??j2?k2?(2u)2?j?285?158?(3?j)2?k2?(3v)2???2017则?????k158(15?j)2?(37?k)2，
?22?(3u)2，解得???u?12158?1?79??(2?j)2?(372?k)2?(2v)2????v?455379?AT2415812553361586?79,BT6?79,CT6?79,DT85536?79；
vii、若?ADTAT7DT77~?CT7B，则
CB?T?AD，此时T点使得AT7?CT7?AD?CB?24；
7BCT7（2）证明：连结SA，BR，BD，
?cos?RCS?SC3RC?4，
?SC?3?12BC，即点S为BC中点，
?BR?CR?DR?AD，
?四边形ABRD为等腰梯形，且AR?BD?2SR，
设?BAS??BSA??，则?BCR?2?，
??ADR??BRD?2?BCR?4?,?CRS??DRA??BDR?90??2?，
??ARS??CDA?4?， 又ARSR?CDAD?2， ?ARSRCD?AD， ??RAS??DCA??BAC，
??CAR??SAR??SAC??BAC??SAC??BAS??， ??SRA?4?RAC。
2.解：（1）如图，易知O1O3?O1T,O2O1?O2T,O3O2?O3T，
则?O1TO2~?O2TO3，
?O1TO?TO2，即
r1?r2
2TTO3r2r，3而?O1与?O3相切于点T，
?r3?2r1， ?r22?r1r3?2r21，
?r1:r2:r3?1:2:2；
（2）连结TR交O1O2于点P，连结TS交O1O2、O2O3于点Z、Q， 由于?O1与?O2交于点R、T，
?RT?O1O2，且PT?12RT， 同理有ST?O12O3，且QT?2ST，
??O1TO2~?O2TO3，且PT、QT分别为?O1TO2、?O2TO3对应边上的高， ?PTQ?O2T?1?O1O2TTO?RT，
32O3O2ST?RTO?ST，
1O2O3O2又因为在Rt?O??2QZ与Rt?TPZ中，?QO2Z?90??QZO2?90??PZT??PTZ，
即?O3O2O1??STR，
??O3O2O1~?STR，
在?O141TO2中，可用勾股定理求得TP?TO1441?4r1，
?RS?RTO?2PT?7。
1O3O1O22r12 ?3.（1）
180，
(i?1)180?；（2）2n，不是；（3）5，7。 nn
4.解：（1）如图，当DP?AT时，D、Q、P三点共线，
由?DQC??PQA??QPA??QDC，可得QC?DC?30cm，
?AQ?AP?20cm，即这三点运动20s后，D、Q、P三点共线；
（2）当点Q未到达O点时，PT//AC，因此在前25s内C、T、P三点不可能共线；
如图，设这三点一共运动了xs，此时Q、T、P三点共线， 过点T作TR//PA交OA于点R，
则AQ?xcm,AR?TR?(50?x)cm,AP?(60?x)cm，
由QR?TR，即x?(50?x)QAPA?50?x?xx60?x60，
解得x1?60?106（舍去），x2?60?106； 假设这三点运动ys后，C、T、P三点共线， 如图，过点T作TS//PA交OA于点S， 则AS?TS?(50?y)cm,AP?(60?y)cm，
由CS?TSCAPA，即
y?y，
50?5060?y解得y1?55?521（舍去），y2?55?521， 而y?x?55?521?(60?106)?5(26?21?1)?0，即y?x，
因此，当P、Q、T三点运动了(55?521)s之后，C、T、P三点共线；
（3）显然，当DT?AX时，DT的值最小；
当点Q还未到达O点时，记DT于AC的交点为Y， 在（1）的解答中，我们得知AY?20cm，
??QAT??QTA，
??QYT?90???QAT?90???QTA??QTY，
?QY?QT?QA?10cm，此时，P、T、Q三点运动了10s；
当点Q还超过O点后、点T又返回至该处时，经过的时间t?50?10?40(s)，
但此时t?x，即P、T、Q三点已停止运动； 延长TQ交AD于点Z，则AZ?45AQ?8cm,ZQ?35AQ?6cm，
?ZD?32cm,TZ?16cm,DT?125cm，
综上所述，当P、T、Q三点运动了10s后，DT取得最小值125cm。
5. 解：将原方程整理为：??3x2y?9xy2?5x2?24xy?72x?21y?91?0??????????????????????，??8x2y?41xy2
?8x?154y?0??????????????????????????????????????????????将（1）式整理为关于x的一元二次方程(3y?5)x2?3(3y2?8y?24)x?7(3y?13)?0， 等式左端进行分解因式，得到[(3y?5)x?7]?[x?(3y?13)]?0， 由于y为整数，则3y?5?0，
?x?7或x??(3y?13)，
3y?5当x?7时，因为x也为整数，
3y?5