?3y?5??1,?7，得?x?1?7,?x2?1??y1?2?y2?4， 将这两组解代入（2）式，等式均成立； 当x??(3y?13)时，
（2）式可化为8(3y?13)2y?41(3y?13)y2?8(3y?13)?154y?0， 即15y3?89y2?114y?8?0，
等式左端进行因式分解，得到(15y?1)(y?2)(y?4)?0， 此时y??2或y??4；
综上所述，原方程组的解为：?x?1?7?x2?1?y1?2,?x??y2?4,?3??7?x4??1?y3??2,??y4??4。
6.解：由x2?bx?18?0的根为有理根，可设?223?b?72?r，其中r为整数，
?r2?b2?(r?b)(r?b)?72，
因为b也为整数，不妨假定r?b，
则有?r?b?2?r?b?4?r?b?6?r?b?12?r?b?18?r?b?36??r?b?36或??r?b?18或??r?b?12或??r?b?6或?或?r?b?4?，
?r?b?2得?11r?9??r?19?r?911r?19有六种可能取值：-17，-7，-3，3，7，
?b??17或??r?b??7或???b??3或?或?b?3??r??b?7或???b?17，即b17；
同理，由x2?7x?c?0的根为有理根，可设?24?49?4c?s，其中s为整数，
?72?s2?(7?s)(7?s)?4c，
又由?4?49?4c?0可得c?494，
而c为整数，于是c?12，且
c2为奇数，
则有?7?s??4?7?s??2?7?s?2?7?s?4??s??c或???2c或?7?s?或?7?s?2c?，
?7?7?s?c得??11s??9s??3??s?s??5?c??18或???c??8或??c?6或??，10；
?c?10，即c有四种可能取值：-18，-8，6对于一元二次方程ax2?7x?18?0，有?49?72a?0，即a??492?72，
由于a为整数，且为一元二次方程的二次项系数，因此a?0， 设?22?49?72a?t，其中t为整数，
?(t?7)(t?7)?72a，
则有?t?7?36a?t?7?18a?t?7?12a?t?7?6a?t?7?2??t?7?4或??t?7?6或??t?7?12或?t?7?4a??t?7?18或?t?7?2a??t?7?36或?t?7?36?或??t?7?2a或
?t?7?18??t?7?7?4a或12a， ?t???t?7?6?t?9得??4或?t?11??或?t?13?t?9?t?19?5或??4或??13或?t?25??t?43?t?29?t?5??a?9?a?1??a?3??a?9??a?3?a?8或??a?25或??a?11或??1，即a有三种可??a??3能取值：1，11，25；
当b??3时，对于一元二次方程ax2?bx?c?0，有?21?b?4ac?9?4ac?0，
于是c??8,?18，
若c??8，当a?1,11,25时，?1均不是完全平方数；
若c??18，当a?1时，?1?81，但方程ax2?7x?18?0与x2?7x?c?0相同，不合题意；（即a?1时c??18）
方程x2?3x?18?0符合题意； 当a?11,25时，?1均不是完全平方数；
当b??7时，?21?b?4ac?49?4ac?0，
若a?1，当c??8时，?221?81，但此时b??7，否则方程ax?7x?18?0与x?bx?18?0相同，方程
x2?7x?8?0符合题意；
当c?6时，?21?25，方程x?7x?6?0符合题意；
当c?10时，?21?9，方程x?7x?10?0符合题意；
若a?11，当c??18时，?221?841?29，但此时b??7，否则方程x?bx?18?0与x2?7x?c?0相同，
方程11x2?7x?18?0符合题意；
当c??8时，?1?401，不合题意；
若a?25，当c??18时，?221?1849?43，方程25x?7x?18?0符合题意；
当c??8时，?1?849，不合题意；
当b??17时，?21?b?4ac?289?4ac?0，
若a?1，当c??8时，?1?321，不合题意；
当c?6时，?1?265，不合题意； 当c?10时，?1?259，不合题意；
若a?11，当c??18时，?1?1081，不合题意； 当c??8时，?1?641，不合题意；
当c?6时，?1?25，方程11x2?17x?6?0符合题意；
若a?25，当c??18时，?1?2089，不合题意；
当c??8时，?1?849，不合题意；
综上所述，a、b、c一共有7种取值可能，构成的方程分别是：x2?7x?8?0，x2?7x?6?0，x2?7x?10?0，
11x2?7x?18?0，25x2?7x?18?0，11x2?17x?6?0。
7.（1）三点不在同一条直线上； 解：?A(c,a),B(2b,a)，
?xA,xB为关于x的一元二次方程ax2?bx?c?a?0的两根，
?xA?x?c?2b??b???????????????????????????于是??B?a，
???x?x?2bc?c?aABa????????????????????????????将C(?a?c,c)代入抛物线方程得：a(?a?c)2?b(?a?c)?c?c，
即(a2?ac?b)(a?c)?0，有a2?ac?b?0或a?c?0；
若a2?ac?b?0，则由（1）式可得ac?2ab?b?0，
?a2?2ab?2ac?a(a?2b?2c)?0，而a?0，于是a?2b?2c?0，
由（2）式可得：c?a?ac?2b?ac(?a?2c)，即a2c?2ac2?a?c?0，将上式整理成关于a的一元二次方程，得ca2?(2c2?1)a?c?0，
则??(2c2?1)2?4c2?4c4?8c2?1?(c2?2?332)(c2?2?2)，
而3?1?332?c?3?12，因此22?c2?2?2,??0，
?a2?ac?b不能为零；
?a?c?0，代入（2）式得2bc?c?aa??2,bc??1，
?（1）式可化为：?c2?2bc??c2?2??b?1c，
即c3?2c?1?(c?5?112)(c?5?2)(c?1)?0，
而3?12?c?3?12，
?a??5?1?112,b??52,c?5?2或a??1,b??1,c?1，
?抛物线的方程为y??5?12122x?5?2x?5?12或y??x?x?1；
（2）1，2或3；一定不；
解：由y?ax?4x?k?a(x?k22222a)?k?224a2可知，抛物线的顶点坐标为(?2a2,k?4a2)，
因为它在反比例函数y?2a2x2的图像上，
4222??(k?4a2)?k，即ka?2ka?8?(ka?2)(ka?4)?0，
2?k?0，
?ka?2?0,a?222k；
?y?a2x2?4x?k?32232联立?，可得2x?4kx?kx?k?0， k?y?x?即(x?k)(2x?2kx?k)?(x?k)(x?223?12k)(x?3?12k)?0，
?抛物线y?ax?4x?k与反比例函数y?22k2x的三个交点坐标分别为：
(?k,?k),(?3?12k,k?3k),(3?12k,k?3k)。
8.解：题中计时有三次，若裂缝出现在箱体最下端的三分之一部分，则后两段时间应该相等；
若裂缝出现在箱体最上端的三分之一部分，则前两段时间应该相等，但三段时间都不相等，因此裂缝出现在箱体中间的三分之一部分。
设水面到达裂缝处时经过了x分钟，
3??x?1?(77?x)?(1?t)?35?1?2?t?依题意得：?，解得?10，
50?(1?t)?35?1??x?67?于是，当再加两个每分钟注水1立方分米的水龙头往内注水时， 注满这个水箱所需时间T?67?13?(77?50?67)?13?310?4019分钟。
9.C；B。