第二章习题答案
1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解：
S? 1000s20|7%?XX?50000?1000s20|7%s10|7%s10|7%? 651.72
2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为X ，则有
1000?X?250a48|1.5%
解得X = 1489.36
3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i = 1
。试计算该年金的现值。 解：
PV?nan|i?n1?v1nY?XX1n?(n? 1)n?n(n? 1)nn2n?2
4．解： a2n?5．已知：a7?解：
?an??an?(1?d)n则d? 1?()n
。计算i。
? 5.58238, a11?? 7.88687, a18?? 10.82760a18??a7??a11?v7解得i = 6.0%
?s10??a??s10?6.证明： 证明：
11?v10
(1?i)s10??a??s10??10?11ii? 1010(1?i)?11?vi?17．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半
年200元，然后减为每次100元。 解：
PV?100a8p]3%?100a20]3%? 2189.7168．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金
帐号上存入1000元，共计25年。然
后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，
后15年的年利率7%。计算每年的退休金。
解： 设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日
1000??s25]8%￢?Xa15]7%
解得X = 8101.65
9．已知贴现率为10%，计算a??8]。 解： d = 10%，则
i?11?d?1 ?198
? 5.6953??8]? (1 ?i)a1?vi10.求证：
??n]?1?a?an]? 1?v；?2?s n]?sn]?1 ? (1 ?i)nn
并给出两等式的实际解释。
?证明： (1)a¨n]1?vdn?1?vin?1?vin? 1?v n1?i?所以a¨n]an]? 1?v(1?i)?1dnn
(1?i)?1i1?in? (2)s¨n]??(1?i)?1in? (1 ?i)?1
n?所以a¨n]sn]?1 ? (1 ?i) n12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利
率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终 值。 解：
PV = 100a49】1.5% ? 100a 2]1.5% = 3256.88 AV = 100s49]1.5% ? 100s2]1.5% ￢ = 6959.37
13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每 年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金 额为Y ，在第11－20年中没有。已知：v10，计算Y 。
解： 因两种年金价值相等，则有
a30]i?a10]i v10?12
?Y a30]i ?Ya1010iv10
所以Y?3?v1?v?2v?2v3030? 1.8
14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。 解： 由题意知，
2a2n]i? 3an]i? 362an]iv? 6n
解得i = 8.33% 15.已知
a7]a11]?a3]?sX]aY]?sZ]。求X，Y和Z。
解： 由题意得
1?v1?v711?(1 ?i)XZ?v3Y(1 ?i)?v
解得
X = 4, Y = 7,Z = 4 16.化简a15](1 ?v15解：
a15](1 ?v15?v30)。
?v30) ?a45]
17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一
次2000元，半年结算名利率9%。
解： 年金在4月1日的价值为P = (1+4.5%)/4.5% × 2000 = 46444.44 ，则
PV?P(1 ?i)2?23? 41300.657
18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。 解： 设递延时间为t，有
P?1ivt解得t??lniPln(1?i)
19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一
定的金额X，直至永远。计算X。
解： 设年实利率为i，由两年金的现值相等，有
??20]i?1000aXiv29
30解得X? 1000((1 ?i)?(1 ?i))
1020.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人 平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相
同。计算(1 ?i)n。
解： 设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值 为
i3an]in，而D得到遗产的现值为vn。由题意得
n1?v3?v所以(1 ?i)n? 4
21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二
个n年，C接受第三个n 年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49， 求B与D的份额之比。 解： 由题意知
PVCPVA?an]v2nan]? 0.49
那么
PVBPVD?an]v1inv3n? 0.61
22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。 解： ??
100an]4.5%v?1000100an?1]4.5%v?100044解得n = 17
列价值方程
100a16]4.5%?Xv1 ? 10002解得X = 146.07
23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果
以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。 解： 两年金现值相等，则4?a36]i由题意，(1 ?i)n? 2? 5?18，可知v18? 0.25
解得n = 9
24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一 次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。 解： 由题意可得方程
100a60p1% ￢ = 6000(1 + i)?k 解得k = 29 25.已知a2]i? 1.75，求i。
解： 由题意得
1?v? 1.75i2解得i = 9.38%
26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年
的期末年金为每年1072元。计算年利率。 解：
27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元， 且第十年底的余额为一万元，计算K 。 解： 由题意可得价值方程
10000 ? 105Ka2]4%v?Ka2]4%? 10000v则K?10000?10000v3105310105a2]4%v?a2]4%v? 979.94
28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。 解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程
1P(1 ?i)2?X? 2X所以X?a4]i? 2Xa5]j(1 ?i)1?4P(1 ?i)21 ?2a4]i?2a5]j(1 ?i)?4
29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付 款2000元，共计8次。 解：
30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知 年利率为12%。（缺命令） 解：
PV? 4?400 ? 4?600v? 11466.145
31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现 值表达式。 解：
32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。 解：
PV?1s4]ia24]iv?3(1 ?i)2724?14(1 ?i)[(1 ?i)?1]?a28]?a4]s3]?s1]
33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末 年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。
解： 设年实利率为i，则(1 + 2%)2 = 1 + i。有题意得
750i?750s20]pii?Ra30]i
解得R = 1114.77
34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。