解： 由题意知
1is3]i?12591解得i = 20%
35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年 金，计算R。 解： 由题意得
20 ?1d?Ra2]ii解得R = 1.95
36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延 时间。
解： 设贴现率为d，则1 ?i?2?2?1(1?d)12
设递延时间为t，由题意得
???]10000 ? 2?500vat?2?解得t?2??ln 20 ? ln(1?(1?d))ln(1?d)?2?12
37. 计算：3an?]?2?2a2n]? 45s1]，计算i 。
解：
3?ii?2?an]i? 2?ii2an]i? 45?ii2s1]i解得：v?n12, i?130
39.已知：?t?t11?t?sds。求aˉ的表达式。 n]??解：aˉn]?0en?0dt? ln(1 ?n)
40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性
支
付一个货币单位，则两种年金的现值相等。 解： 第一种年金的现值为?0v1tdt?1?e??? 第二种年金的现值为e??t，则
1?e????e??t所以t? 1 ?1?ln?i 41.已知：δ = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现
值。（结果和李凌飞的不同）
1解： 设季度实利率为i。因a(t) ??80]i? 100(1 ?i)PV? 100a1?vi80?e?t，则e4
?? (1 ?i)所以
? 4030.5342.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定
速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？ 解： 设年实利率为i，则i?e?1设基金可维持t年，由两现值相等得
?40000 ? 2400at]i解得t = 28
43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值
相等，计算该永久年金的现值。 解： 由题意：
11(1?i)6?13(1?i)27?i?211 nPV?v? 3v??? (2n?1)v? ?v[1 ?PV? 2(v?v??)]?v(1 ?PV? 2v1?v)2
解得:PV = 66
44.给出现值表达式Aan|?B(Da)n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如
下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。
解： 年金序列：A + nB,A + (n ? 1)B, . . . ,A + 2B,A + B 所求为25a25|? 3(Da)25|
45. 某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率
为16％。若记：A?a10|8% ，试用A表示这个年金的现值。
解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：
300a10|8%? 500(Da)10|8%?300A?2?(10?A)i?2?? 6250?325A
47. 已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:
100v4i?vd
解： 把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久
年金. . .。从而
PV?v4100i11a2|ii? 100v4112i1?v? 100v4i?vd
48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。
?4??4???(Ia??)证明其现值为：1600a元 10|1|证： 首先把一年四次的付款折到年初：m? 4, n? 1,R? 100m2? 1600
?4???)元 从而每年初当年的年金现值：1600(I?4?a1|???(I再贴现到开始时：1600a10|4???)a1|?4?元
49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利
率8％，计算现值。 解： 半年的实利率：
PV? 1 ?1.031 ?j1.031 ?j)??1j? ?1 ? 8%??1 ? 3.923"12
1.03(1 ?j)??? (1?
? 112.5950. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。 证明当前的准备金为：
??a??6000a证： 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12,R = 500m = 4|9/12|(12)6000 从而
每年初当年的年金现值：
??a????6000a贴现到当前：6000a 4|9/12|9/12|(12)?12?51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第
三
个k 年每年底还3R；依此类推。给出现值表达式。
解： 把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n = 0, 1, 2, · · · ): 每个年金的值为
Ra?在分散在每个k年的区段里：
R(a?|)ak|Ra?|ak|2
再按标准永久年金求现值：v
52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款
从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3, · · · 的现值。计算贴现率。 解： 由题意： ? ?
X?11i1?i111?
20X? (?2)2ii(1?i)解得：i = 0.05 即：d?i1?i? 0.04762
53. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v4 = 0.75，计算现值。与原答案有出入 解： (期初年金)
?PV? 1 ? 6v? 11v???49?i?1(5n?4)v(4n?4)?5(1?v)42?41?v4? 64
V(期末年金)P¨?v? 6v? 11v ???v?PV? 59.5587510
54. 永久连续年金的年金函数为:(1 + k)t，年利率i，如果：0 < k < i ，计算
该年
金现值。与原答案有出入
解： 由于0 < k < i，故下列广义积分收敛：
PV??0(1 ?k)e?t??tdt??0(?1 ?k1 ?i)dt?t1ln(1 ?i)?ln(1 ?k)
59. 计算m + n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率7%，后n年年利 率11%，sm|7%? 34, sn|11%? 128。
n解： 由sn|的表达式有：(1 ? 0.11)? 0.11n|11%? 1
n AV?sm|7% ?(1 ? 0.11)?sn|11%?sm|7%?(0.11sn|11%? 1) ?sn|11%? 640.72
60. 甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每 年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所
有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B股 票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也 是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售 时刻的累积收入相同，分别对n = 15, 20两种情况计算乙的股票出售价格。 解： 设X为买价，有价值方程：
0.4s10|6%? 2 ? 0.8sn?10|6%?X(1 ? 0.06)?(n?10)从而有：
X? (0.4s10|6%￢? 2?0.8sn?10|6%)(1 ? 0.06)(n?10)
解得：X =?? ?
5.22 n = 15 2.48 n = 20
61. 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半 年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐 款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖 金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。 解： 由题意：
AV? 100000?1?4%?20?5000s20|4%s2|4%?12000?1?4%?s20|4%s2|4%? 109926.021
62. 已知贷款L经过N（偶数）次、每次K元还清，利率i 。如果将还贷款次数减少
一半，记每次的还款为K1，试比较K1与2K 的大小。 解： 由题意：
K1am|i?Ka2m|i ?K1?K[1 ?1(1 ?i)m]?2K
63. 已知贷款L经过N次、每次K元还清，利率i 。如果将每次的还款额增加一倍， 比较新的还款次数与N/2的大小。 解： 由题意：
2KaM|i?KaN|i ?vM?1 ?v2N? vN2即：M < N/2