生命中，不断地有人离开或进入。于是，看见的，看不见的；记住的，遗忘了。生命中，不断地有得到和失落。于是，看不见的，看见了；遗忘的，记住了。然而，看不见的，是不是就等于不存在？记住的，是不是永远不会消失？
手机“套餐”优惠几何
作者： 张男男 朱 爽 刘小平
（1.吉林工业职业技术学院 自动化3052班， 吉林 吉林市 132013）
摘要：手机资费问题已经成为人们心中关注的热点问题。 本文主要根据运营商的收费方案，运用所学知识，建立数学模型，计算推导出它们的资费计算方法，利用MATLAB 、EXCEL画出相应的函数图像，进行分析、比较、评价，看哪种资费方案更“省钱” 。根据已给资费方案，设计模型，在现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下，推出新的可行的“套餐”方案，既要满足客户的“省钱”，又要满足运营商的设计目标。
关键词：线性规划 资费方案 手机套
一、问题重述
手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，近年来通信业务量飞速增长。 手机资费问题一直是人们关心的热点问题，多少年来资费方案始终没有实质性变化。但是2007年1月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营商都相继推出了“手机单向收费方案”---各种品牌的“套餐”，手机“套餐”的花样琳琅满目，让人眼花缭乱。人们不禁要问：手机“套餐”究竟优惠几何？
请参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案，建立数学模型,分析研究下列问题：
(1) 给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户？
(2) 提出你们对各种资费方案的评价准则和方法, 据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。
(3) 北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。你们又如何评价这个方案？并说明理由。
(4) 如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通手机的资费方案, 你们会考虑哪些因素? 根据你们的研究结果和北京、上海的实际情况，在现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐”方案。 二、问题分析
我们对手机“套餐”的各种资费方案，作了详细的调查，并得到了大量的数据和资料。利用已有的资料和题目的要求进行分析，并根据北京、上海各“套餐”的实际情况以及题目要求，理论推导出计算资费方法的数学模型，看哪种资费方案更“省钱”。根据已有方案建立设计的模型，并推出新的、可行的“套餐”方案，既满足客户的“省钱” ，又要满足运营商的设计目标。制定评价准则，建立相应数学模型，并对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准进行分析、比较和评价。分析“被叫全免费计划”方案，并和现有的全球通用户进行比较，再给出评价。研究现有的“套餐”方案和各种收费方案，建立起设计方案的数学模型，
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并进行优化改进，在现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下，用改进的、优化的数学模型设计一个合理的新的“套餐”方案。 三、模型假设
（4） 为了简化模型,我们只考虑影响手机话费的主要因素:打电话费用,月租费，而忽略短信的收发,网上图片和手机铃声下载等服务项目。因其对任何一种手机卡的收费情况基本是一致的,故略去不考虑。 （2）不考虑节假日等优惠政策。为描述收费的大致情况,不妨设话费关于时间是连续函数。
（3）假设用户网内,网外,长途总的拨打时间为一定值T分钟,以便在这种情况下比较几种卡的优越性；另外也可以假定总通话费用一定，使用时间最长的手机卡。
（5） 假设用户每月拨打网内,网外,长途都有一定的时间范围，该范围由实际情况结合经验来确定。 四、符号说明
（1） z表示月基本费（元）
（2） k1表示超出套餐部分本地主叫资费（元/分钟） （3） t表示通话时间（分钟） （4）t0 表示包含主叫分钟数
（5）t1 表示超出的包含本地主叫分钟数 （6）t2 表示长途主叫分钟数 （7）y 表示每月总费用（元） （8）E 表示超出的GPRS流量（kb）
（9） Ai , Bi表示第i种通话的时间的上界和下界 （10） T表示总时间 （11）p0 为目前资费率 （12）P为实施套餐资费率 五、建立模型及求解 问题一
根据问题要求以及附录一北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案的资料，我们忽略次要因素，考虑主要因素，建立了北京套餐的资费计算方法如下公式：
y=z+0.1t2 (t1≤t0, E<10m) (1) y=z+k1t1+0.1t2 (t1>t0, E<10m) (2) y=z+0.1t2+0.03E (t1≤t0 , E≥10m) (3) y=z+k1t1+0.1t2+0.03E (t1>t0, E≥10m) (4)
公式⑴ ⑵说明GPRS未超出规定流量，⑶ ⑷为GPRS超出规定流量。
为了更好的看出北京移动公司全球通“畅听99套餐”中，因月基本费的不同而适合的人群，即基本费为99元、139元、199元、299元适合于什么样的人群，把计算得出的公式转变成图像，更直观、明了、方便。 根据题目要求，即针对不同通话量而不考虑数据业务的要求来说明，所以计算公式如下：
y=z+0.1t2 (t1≥t0) (5) y=z+k1t1+0.1t2 (t1>t0) (6)
将所得的公式转换成MATLAB语言，利用MATLAB软件绘制出如图一所示的图像。
图1 计算结果函数图像
从图像中可得出如下结论：利用图表表示，见表一。
表一 “畅听99套餐”用户各时间段每月消费表
用户通话主叫时间（分） 0〈 〈400 400 800 800 1500 1500 2500
（1）从图表中可以看出当用户每月消费99元 139元，即通话时间在400分钟以内的，适用于选用月基本费99（元）的 “畅听99套餐” 。
（2）用户每月消费139元 199元，即通话时间在400分钟和800分钟之间的，适合于选用月基本费139（元）的 “畅听99套餐” 。
（3）用户每月消费199元 299元即通话时间在800分钟和1500分钟之间的，适合于选用月基本费199（元）的 “畅听99套餐” 。
（4）用户每月消费299元 399元即通话时间在1500分钟或更长的，适合于选用月基本费299（元）的 “99套餐” 。
该“套餐”在北京首先突破了全球通高端品牌接听免费的先河，而且将月租费融入“套餐”。从整体上考虑，如果是被叫用户、高端商务人士以及对市话、长途都有需求，但整体话费又不高的用户，则99元档比较划算。 根据附录一上海移动公司 “全球通68套餐”方案的资料，我们忽略次要因素，考虑主要因素，建立了上海套餐的资费计算方法如下公式：
y=z ( t≤t0 ) ⑺ y=z+k1t1 (t1>t0) ⑻
利用同样方法把所得的公式转换成MATLAB语言，利用MATLAB软件绘制出如图二所示的图像。
99 139 141 271 281 526 526 876 139 139 199 199 370 374 624 199 199 199 299 299 499 299 299 299 299 374 月基本费99（元） 月基本费129（元） 月基本费199（元） 月基本费299（元）
图2 计算结果函数图像
从图像中可得出如下结论：利用图表表示，见表二。
表二“68套餐”用户各时间段每月消费表 用户通话时间 0 693.33 693.33 1175 1175 2500
(1)从图表中可以看出当用户每月消费68元 128元，即通话时间在693分钟以内的，适合于选用月基本费68（元）的 “68套餐” 。
(2)当用户每月消费111元 188元，即通话时间在693分钟和1175分钟之间的，适合于选用月基本费128（元）的 “68套餐” 。
(3)当用户每月消费188元 357元，即通话时间大于1175分钟的，适合于选用月基本费188（元）的 “68套餐” 。
从整体上考虑，在所优惠的时间内，适用于主叫而不适用于被叫用户。超出优惠时间则按通话时间来计算，具体选择方法如上所述。 问题二
根据第二问的要求，以及附录及网上的相关资料，利用线性规划及其相关知识,建立线性规划数学模型。在总时间一定的情况下讨论了手机卡的评价准则和方法，并以哪种卡“最省钱”作为评价准则。总时间一定的情况下通话费用最小的线性规划模型，首先给出现行标准都适合的一般优化模型。为了有效的求出总费用最小时的最优通话时间分配方案，我们分别对本地通话和长途通话相应的总时间做一定限制。此处考虑到大多数用户不会在闲时使用手机，计算一律按忙时处理，使问题更为简化，也在合理要求的范围内。需要说明的是该参数的确定具有一定的主观性，我们将根据实际情况结合经验适当选取数值进行计算求解。具体模型如下：
ymin=z+ci1t1+ci2t2 ⑼
条件： A1 ≤ t3 ≤B1
A2≤
月基本费68（元） 68 128 128 214.7 214.7 453.2 月基本费128（元） 128 111 188 188 400 月基本费188（元） 188 188 188 357 t4 ≤B2
t3+t4=T ti ≥ 0
该模型对每种卡，如神州行卡、动感地带、全球通等都适用。只要将模型中参数取某种卡的相关信息即可计算出该种卡在总通话时间一定的情况下的最佳的通话分配方案。
在一般模型基础之上分别针对每种卡计算，这里我们T多取几组值，然后将计算结果列成表格以便比较、分析。在对计算结果全面，详细的分析和综合比对基础上，得出哪种卡在哪种情况下最优。 计算:给定时间t1 的范围即AiBi i=1,2 (单位分钟) 表三 i种通话的时间的上界和下界表
A1 30 120 220 280 400 560 800 1000 1200 1200 B1 80 150 300 480 560 800 1000 1200 1300 1600 A2 20 50 100 320 240 200 500 600 700 600 B2 70 80 180 400 400 440 700 800 800 900 分别取T=100~2200(分钟),用LINGO求解，结果如表四所示: 表四 各种“套餐”卡对照表
S T 神州行 动感地带 全球通 100 200 400 600 800 1000 1500 1800 2000 2200 66 135 270 390 552 660 1050 1260 1410 1500 49 78 132 184 240 380 620 750 865 960 96 152 240 326 442 510 800 950 1060 1110 当总时间 一定,相对应的通话总费用最小时,各种通话时间的分配结果如下表五所示(单位为分钟)： 表五 本地、长途时间表
S T 神州行 动感地带 全球通 100 200 400 600 800 t1 80 150 280 480 560 t2 20 50 120 120 240 t1 80 150 280 480 560 t2 20 50 120 120 240 t1 80 150 2800 480 560 t2 20 50 120 120 240