连接体问题
加速度相同的连接体
例|1在右图中，质量分别为m1、m2的物体由弹簧相连接，在恒力F 作用下共同向右运动，弹簧的长度恒定，物块与水平面间动摩擦因数为?。求：
m2m1F弹簧的弹力？
【引导】上述问题属于连接体的问题，按照传统的解法，老师会教你用整体法与隔离法，按照“先整体后隔离”或“先隔离后整体”等方法，列方程组再求解计算。那么类似的，像物体在水平面上动运、水平面光滑或粗糙；衡力F足够大可以拉着物体沿着斜面向上运动、斜面光滑或粗糙；衡力F足够大可以拉着物体沿着竖直方向向上运动等五种情况下，弹力大小又将如何？难道我们要一一算来，没有规律可循？不妨来一块探究一下！ 【解析】解法一：常规方法（整体法与隔离法） 以整体为研究对象，由牛顿第二定律得
F-??m1?m2?g??m1?m2?a
解得 a?以m2为研究对象
F??(m1?m2)gF???g
m1?m2m1?m2FT??m2g?m2a
解得 FT?m2F
m1?m2 质量分别为m1、m2的物体有弹簧相连接，在恒力F 作用下共同向右运动。既然是共同运动、就有相同的加速度，有相同加速度的物体“合外力按质量来均分”。因此
FT?两者结果相同！ 【答案】
m2F
m1?m2m2F
m1?m2【品味】通过上述分析及计算，在恒力F 作用下共同运动，具有相同加速度的物体“合外力按质量来均分”的计算结果与采用隔离法的计算结果相同。“合外力按质量来均分”的结论更加深刻地反映了牛顿第二定律的本质。
例|2如图右所示，质量为m1、m2的物块在F1、F2共同作用下向
F2
1
m2m1F1
右运动。已知m1?3kg、m2?2kg、F1?14N、F2?4N，求m1和m2 之间的作用力FT为多少？
【引导】本题中物体系统水平方向，不仅受到外力F1作用，还受到F2作用，因此系统的合外力为两力的矢量和，然后再按照“合外力按质量均分”结论求解。 【解析】物体系的合外力
?F?14N-4N?10N
按照“合外力按质量来均分”知 m1的合力 ?F1?6N m2的合力 ?F2?4N 由于 ?F1?F1?FT 或
?F2?FT?F2
所以m1和m2之间的拉力
FT?F1??F1?14N-6N?8N
也可以 FT?F2??F2?4N?4N?8N
【答案】8N
【品味】当系统所受外力不仅一个时，先求和力再分配，然后任意隔离一个物体进行分析就可求出物体间的“牵连力”。
例|3如右图所示，物体m1、m2用一细绳连接，两者在竖直向上的力F的作用下向上加速运动，重力加速度为g，求细绳上的张力？
【启导】本题由水平情境变为竖直情境，但我们依然可以应用结论去分析。 【解析】物体所受合外力为
?F?F??m1?m2?g
以m2为研究对象，由“合外力随质量均分”可知
?Fm22?m?m21?m2?F?mF?m2g
1?m2又由于
?F2?FT?m2g
所以 FT??F2?m2g?m2m?mF
12 2
F
【答案】
m2F
m1?m2【品味】从本题计算结果中，我们发现求解结果与重力无关！这是因为质量是与重力对应的，重力如果使两物体产生了加速度，那么其大小和方向一定是一样的，不会对它们之间的“连接体”产生作用。因此，我们可理解为重力本身就是按质量均分的，运算中无需考虑。类似地斜面上物体所受的mg、mgsin??,?,?mgmgcos??也可认为已经按质量均分过了，无需再考虑。
例|4如图右，m1、m2用细线吊在定滑轮，当m1、m2开始运动时，求细线受到的张力？
【引导】本题中对合外力的分析是一个难点，仔细研究会发现，使得m1、m2状态
变化的原因是两者重力的差值，与滑轮与重力的大小无关。弄清合外力后，就可按照上题解法求解了。
【解析】m1、m2用细线吊在定滑轮上，当m1、m2开始运动时二者具有相同的加速度，产生加速度的力是m1、m2重力的差值。若取g=10m/s2，则
∑F= m1g–m2g = 30N–20N =10N
因此m1、m2受到的合外力分别是6N、4N 则细线受到的张力
FT= m1g–∑F1=30N-6N=24N
或 FT= m2g+∑F2=20N+4N=24N 【答案】24N
【品味】从本题中我们会感受到对系统合外力的分析不像我们想象的那么容易，其实这也正反映了结论法的一个重要特性，那就是揭示了牛顿第二定律的本质。
加速度不相同的连接体
例|5质量为M的箱体放在水平面上，其内部柱子上有一物块正以加速度a下滑，物块的质量为m。求箱体对地面的压力？
【引导】我们先用常规方法来求解。分析发现物块与箱体之间通过摩擦力来建立关系，物块处于匀加速状态，先对物块应用牛顿第二定律求出摩擦力，然后在隔离出箱体来分析求解。那么除了这种方法我们能不能找出更为简洁的方法呢？下面我们不妨来探索一下。
【解析】解法一：用隔离法
以物块m为研究对象，其摩擦力和重力作用，且摩擦力小于重，物块加速下滑，则 Mg-Ff=ma
解得 Ff=mg-ma
以箱体M为研究对象，其受摩擦力、重力、地面对箱体的支持力三个力作用，箱体保持静止，则
FN=Mg+Ff= Mg+ mg-ma 解法二：应用对系统的牛顿第二定律
将质量为M的箱体和质量为m的物块看成一个物体系，则静止时其总重为 G=Mg+mg
3
mMFfamg
由于物块m向下加速，处于失重状态，其中重力为ma的部分用来产生向下的加速度，将不再对地面产生压力，因此对于物体系应用牛顿第二定律，可得 FN= Mg+ mg-ma 【答案】Mg+ mg-ma
【品味】本题中分别应用了常规解法（隔离法）和对系统的牛顿第二定律来求解。对比发现第二种解法更更抓住本质，也更为方便，当然对思维能力要求也较高。要想熟练运用，反复训练和思考感悟是必不可少的！
例|6在以下所述情形下，分别求出地面对斜面体的摩擦力和支持力：
（1）质量为m的物块在质量为M的斜面上静止和沿斜面匀速下滑；
（2）质量为m的物块在沿着斜面向上的拉力F作用下沿斜面匀速上滑，斜面体质量为M，始终静止；
（3）质量为m的物块以加速度a沿斜面加速下滑，斜面体质量为M，保持静止。 【引导】本题我们可以通过分析推理来确定斜面体所受的摩擦力和支持力，也可以应用对系统的牛顿第二定律来求解。在应用后一种方法时，由于所求摩擦力与支持力分别在水平方向和竖直方向上，因此可将系统中物体加速度沿水平方向和竖直方向分解，然后按照对系统的牛顿第二定律进行求解。 【解析】解法一：分析推理法
（1）物体静止在斜面上，可以把物块m和斜面体M看成一个物体，其放在水平地面上仅受支持力作用。
m?v?m
质量为m的物块沿着质量为M的斜面匀速下滑，匀速相当于静止，依然可以把物块m和斜面体M看成一个物体，其放在水平地面上也仅受支持力作用。
因此，斜面体所受的摩擦力为零，支持力为
FN=(M+m)g
（2）物块在沿着斜面向上的拉力F作用下，沿斜面匀速上滑；同样的道理，匀速相当于静止，可以把物块m和斜面体M看成一个物体，这一个物体受到斜向上F的作用；其中Fcosθ向右拉物体没有拉动，地面对质量为M的斜面体的摩擦力等于拉力，即
Ff =Fcosθ
其中Fsinθ是对物体系向上的拉力，地面对斜面体的支持力力应为
FN=(M+m)g-Fsinθ
（3）物块沿着斜面向下以加速度a沿斜面加速下滑，斜面体不动，这时我们仍然把物体系看作一个整体。其中物块受到合外力为∑F=ma，将其正交分解，ma沿竖直方向的分量为masinθ，沿水平方向的分量为macosθ。
对物体系，总重量为（Mg+mg），用其中masinθ的部分产生加速度，因此地面对斜面体的支持力为
FN=（Mg+ mg）- masinθ
系统在若在水平方向受力，只能是地面提供的摩擦力，因此
MM 4
Ff =macosθ
解法二：应用对系统的牛顿第二定律
（1）无论物块处于静止状态还是匀速直线运动状态，都是平衡态，而斜面体始终静止，因此物体系统水平方向不受力，即地面对斜面体的摩擦力为零。而竖直方向上，由平衡条件有
FN=（Mg+ mg）
（2）由于物体系统处于平衡态，故沿水平方向和竖直方向有
Ff=Fcosθ 方向水平向左 Fsinθ+FN=（Mg+ mg）
解得 FN=（Mg+ mg）-Fsinθ
（3）沿水平方向与竖直方向分解物块加速度，如图所示。 应用对系统的牛顿第二定律，得 地面对斜面体的摩擦力
acos?Ff?M?0?macos??macos? 方向水平向左
地面对斜面体的支持力
a?asin?FN??M?m?g?masin? 方向水平向上
对此，我们可以从超、失重角度来理解：
系统失重部分对应的力为masinθ，因此地面对斜面体的支持力为
FN=(Mg+ mg)-masinθ
在水平方向，物块的加速度分量为macosθ，可以认为是斜面体对物块推动的结果，因此物块也沿水平方向向右推斜面体，推力为 F推=macosθ
斜面体不动，地面对斜面体的摩擦力方向向左，大小为
Ff =macosθ
【答案】（1）Ff =0 FN=(M+m)g
（2）Ff=Fcosθ FN=（Mg+ mg）-Fsinθ （3）Ff=macosθ FN=(Mg+ mg)-masinθ
【品味】本题解法一容易理解，但过程较为复杂。解法二简便快捷，但对思维能力要求较高。两种方法都不乏迷人智慧之处。还希望读者能够多多品味琢磨。只有基础扎实，吃透了思想方法的精髓，方能运用的得心应手，因此希望学员在欣赏的同时不要忘了练好基本功和对思想方法实质的探索。
例|7质量均为m的物体A、B叠放在一起，置于光滑水平地面上，A、B用弹簧栓接。B木板足够长、A物体运动中不会从B木板上掉下来，A、B间光滑。t=0时刻给B施加一水平向右的恒力F。在此后的运动中将有（ ）
A．A、B物体加速度相同时速度差最大
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