世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射?：x→x＋2，则?是从A到B的（ c ） ?x∈R，A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射
2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。
A、2 B、5 C、7 D、10
3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1,2?，则有B?A?-1,0,1,-2,2。 1、设集合A???1,0,1?；B??2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。 4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。
8、设I和S是环R的理想且I?S?R，如果I是R的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
?12345678??12345678???1、设置换和分别为：???，，判断?和?的奇偶性，并把?和???????64173528??23187654?写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵
之和。奇1、解：把?和?写成不相杂轮换的乘积： ??(1653)(247)(8) ??(123)(48)(57)(6)
可知?为奇置换，?为偶置换。 ?和?可以写成如下对换的乘积： ??(13)(15)(16)(24)(27) ??(13)(12)(48)(57)
B?11(A?A?)C?(A?A?)222解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称
矩阵，且A?B?C。若令有A?B1?C1，这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则
B?B1?C1?C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B?B1，C?C1，所以，表示法唯一。
1
3、设集合Mm?{0,1,2,??,m?1,m}(m?1)，定义Mm中运算“?m”为a?mb=(a+b)(modm),则（Mm，?m）是不是群，为什么？
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
21、设G是群。证明：如果对任意的x?G，有x?e，则G是交换群。
2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。
2?1?1?1(xy)?exy?(xy)?yx?yx（对每个x，从x2?e可1、对于G中任意元x，y，由于，所以
?1得x?x）。
2、证明在F里
a(a,b?R,b?0)b
?a??Q??所有?(a,b?R,b?0)b??有意义，作F的子集 ab?1?b?1a?Q显然是R的一个商域 证毕。
?
近世代数模拟试题二
一、单项选择题
二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。
33????aa,e??e,a?? e,a,aA、 B、 C、 D、
2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群
A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法
C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ）
A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|
4、设?1、?2、?3是三个置换，其中?1=（12）（23）（13），?2=（24）（14），?3=（1324），则?3=（ b ）
22A、?1 B、?1?2 C、?2 D、?2?1
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ a ）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个---变换全-------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。
43、已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于-25-----。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=---2--。
6、若映射?既是单射又是满射，则称?为---双射--------------。
7、?叫做域F的一个代数元，如果存在F的--不都等于林---a0,a1,?,an使得
2
a0?a1????an?n?0。
8、a是代数系统(A,0)的元素，对任何x?A均成立x?a?x，则称a为----单位元-----。 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法
封闭；结合律成立、---------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。
2、设E是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是E中的运算，（E，?）是一个代数系统，问（E，?）是不是群，为什么？
1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )} 2、答：（E，?）不是群，因为（E，?）中无单位元。 3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明 设e是群
若x?∈G也是a*x＝b的解，则x?＝e*x?＝(a－1*a)*x?＝a－1*(a*x?)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。
当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、若
2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a?b当且仅当m︱a–b。
近世代数模拟试题三
一、单项选择题
1、6阶有限群的任何子群一定不是（ c ）。 A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶
2、设G是群，G有（ c）个元素，则不能肯定G是交换群。 A、4个 B、5个 C、6个 D、7个
3
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ d ）。 4、下列哪个偏序集构成有界格（ d ）
A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂 A、（N,?） B、（Z,?） C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、 (P(A),?)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ a ）
A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
?1faAAA2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则?f?a???----a------。
3、区间[1，2]上的运算a?b?{mina,b}的单位元是--2-----。
f4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=———24———————。
5、环Z8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数---相等-------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-----商权----。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的---特征--------。
n9、设群G中元素a的阶为m，如果a?e，那么m与n存在整除关系为---mIn----。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？
3、设有置换??(1345)(1245)，??(234)(456)?S6。
?11．求??和??；
?12．确定置换??和??的奇偶性。
群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，?等等，可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2： 因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ， 因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。 S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：
4
?1???(1243)(56)?)； 3、解： 1．，??(165242．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。
?1a????0?1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义a?1??，
因而R的任意元b?b?1??
这就是说?=R，证毕。
2、证 必要性：将b代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，
近世代数模拟试题四
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。
A.2 B.5 C.7 D.10
2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射
?：x→x＋2，?x∈R，
则?是从A到B的（ c ）
A.满射而非单射 B.单射而非满射
C.一一映射 D.既非单射也非满射
3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）
A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23) C.(1)，(123) D.S3中的所有元素
4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ d ）个。 A.2 B.4 C.6 D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ b ） A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法 C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“?”：?m， n∈Z， m?n＝0
5