D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“?”：?m， n∈Z， m?n＝1 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。 7.设(G，·)是一个群，那么，对于?a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝
___________。
8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。
9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于?a∈G，则元素a的阶只可能是____5,15,1,3,_______。
10.在3次对称群S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H＝___________。 11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是___2,3,4________。
12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。
13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝_____________ ___________。 14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是___________ ___________。
15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，?是Z到Zm的一个映射，其中
，?k∈Z， ? ：k→［k］
验证：?是Z到Zm的一个同态满射，并求?的同态核Ker?。 17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。
四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）? 19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“?”
由右边的运算表给出，证明：(G，?)作成一个群。
? a b c a a b c
b b c a
c c a b
20.设
6
??aR??????c?b??a,b,c,d?Z?,d?????a0???I???a,c?Z?, ?c0?????已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。
21.设(R，＋，·)是一个环，如果(R，＋)是一个循环群，证明：R是一个交换环。
近世代数模拟试题一 参考答案
一、单项选择题。
1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、??1,?1?,?1,0?,?1,1??2,?1?,?2,0?,?2,1??；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、解：把?和?写成不相杂轮换的乘积： ??(1653)(247)(8) ??(123)(48)(57)(6)
可知?为奇置换，?为偶置换。 ?和?可以写成如下对换的乘积： ??(13)(15)(16)(24)(27) ??(13)(12)(48)(57)
11(A?A?)C?(A?A?)222、解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称
矩阵，且A?B?C。若令有A?B1?C1，这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则
B?B?B1?C1?C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B?B1，C?C1，所以，表示法唯一。
3、答：（Mm，?m）不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0和m。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
2?1?1?1(xy)?exy?(xy)?yx?yx（对每个x，从x2?e可1、对于G中任意元x，y，由于，所以
?1得x?x）。
2、证明在F里
a(a,b?R,b?0)b
?a??Q??所有?(a,b?R,b?0)b??有意义，作F的子集 ab?1?b?1a?Q显然是R的一个商域 证毕。
?近世代数模拟试题二 参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。 1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )} 2、答：（E，?）不是群，因为（E，?）中无单位元。
7
3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明 设e是群
若x?∈G也是a*x＝b的解，则x?＝e*x?＝(a－1*a)*x?＝a－1*(a*x?)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。
当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。
近世代数模拟试题三 参考答案
一、单项选择题1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、mn； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，?等等，可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2： 因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ， 因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。 S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：
)(56)，???(16524)； 3、解： 1．???(12432．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
?11、证明：假定?是R的一个理想而?不是零理想，那么a?0??，由理想的定义aa?1??，因而R的任意元b?b?1?? 这就是说?=R，证毕。
?1
8
2、证 必要性：将b代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以b=a-1。
近 世 代 数 试 卷
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）
1、设A与B都是非空集合，那么A?B??xx?A且x?B?。 （ f ）
2、设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。（ f ） 3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f?1。 （ t ） 4、如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 （t ） 5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。 （ f ） 6、群G的子群H是不变子群的充要条件为?g?G,?h?H;g?1Hg?H。 （ t ） 7、如果环R的阶?2，那么R的单位元1?0。 （ t ） 8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。 （ t ） 9、F(x)中满足条件p(?)?0的多项式叫做元?在域F上的极小多项式。 （ f ）
10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z?p?同构的子域，这里Z是整数环，?p?是由素数p生成的主理想。 （ f ）
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）
1、设A1,A2,?,An和D都是非空集合，而f是A1?A2???An到D的一个映射，那么（ 2 ） ①集合A1,A2,?,An,D中两两都不相同；②A1,A2,?,An的次序不能调换； ③A1?A2???An中不同的元对应的象必不相同； ④一个元?a1,a2,?,an?的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ 3 ）4
a?b； ②在有理数集Q上，a?b?ab； ab③在正实数集R?上，a?b?alnb；④在集合?n?Zn?0?上，a?b?a?b。
①在整数集Z上，a?b?3、设?是整数集Z上的二元运算，其中a?b?max?a,b?（即取a与b中的最大者），那么?在Z中（ 4 ）3
①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
4、设?G,??为群，其中G是实数集，而乘法?:a?b?a?b?k，这里k为G中固定的常数。那么群?G,??中的单位元e和元x的逆元分别是（ 4 ）
①0和?x； ②1和0； ③k和x?2k； ④?k和?(x?2k)。 5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a?bxc?1,acx?xac，那么x?（ 2 ）1 ①bc?1a?1； ②c?1a?1； ③a?1bc?1； ④b?1ca。
6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果6，那么G的阶G?（ 3 ）2
9
①6； ②24； ③10； ④12。
7、设f:G1?G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（2 ）4
①f的同态核是G1的不变子群； ②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③G1的子群的象是G2的子群； ④G1的不变子群的象是G2的不变子群。
8、设f:R1?R2是环同态满射，f(a)?b，那么下列错误的结论为（ 4 ）3 ①若a是零元，则b是零元； ②若a是单位元，则b是单位元； ③若a不是零因子，则b不是零因子；④若R2是不交换的，则R1不交换。 9、下列正确的命题是（ 4 ）1
①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。 10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（1 ）4 ①?E:I???E:I??I:F?； ②?F:E???I:F??E:I?； ③?I:F???E:F??F:I?； ④?E:F???E:I??I:F?。
三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分） 1、设集合A???1,0,1?；B??1,2?，则有B?A? 。 2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f?1?f?a??? a 。 3、设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果Ai?Aj，那么Ai?Aj? 0 。
4、设群G中元素a的阶为m，如果an?e，那么m与n存在整除关系为 。 5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。
)，那么??1? 。 6、给出一个5-循环置换??(314257、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为 x 。
8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么RI是一个域当且仅当I是 一个最大理想 。
9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果 、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子 。
10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果 。
四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）
1、如果一个集合A的代数运算?同时适合消去律和分配律，那么在a1?a2???an里，元的次序可以掉换。
结合律与交换律 2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。 消去律成立
3、设I和S是环R的理想且I?S?R，如果I是R的最大理想，那么S?0。 S=I或S=R 4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，
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