江苏省南京市2018届高三数学12月联考试题
注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页,包含填空题(共14题)、解答题(共6题),满分为160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。 3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作答一律无效。如有作图需要,可用2B铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.集合A={x|0≤x≤2},B={-1,2,3},则A∩B= ▲ .
2.若复数z满足z=i(2-i)(i是虚数单位),则复数z的模|z|= ▲ .
3.某市交通部门对某路段公路上行驶的汽车的速度实施监控,从速度在50~90 km/h的汽车中抽取200辆进行分析,得到数据的频率分布直方图(如图所示),则速度在70 km/h以下的汽车有 ▲ 辆.
4.如图,若输入的x值为16,则相应输出的值y为 ▲ .
第3题图 第4题
图
5.已知变量x,y满足约束条件错误！未找到引用源。则x+y的最大值是 ▲ . 6.某校高三年级学生会主席团共由4名学生组成,其中有两名学生来自同一班级,另外两名学生来自另两个不同班级.现从中随机选出两名学生参加会议,则选出的两名学生来自不同班级的概率为 ▲ .
7.已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为 ▲ .
8.已知双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是3x-4y=0,则该双曲线的离心率为 ▲ .
9.在等差数列{an}中,若a4=4,错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=96,则数列{an}的前10项和S10= ▲ . 10.将函数y=sin(2x+错误！未找到引用源。)的图象向右平移φ(0<φ<错误！未找到引用源。)个单位后,所得的函数图象关于原点成中心对称,则φ= ▲ .
11.已知函数f(x)=错误！未找到引用源。在区间(0,+∞)上有且只有三个不同的零点,则实数m的取值范围是 ▲ .
12.如图,已知点O是平面四边形ABCD的外接圆的圆心,AB=2,BC=6,AD=CD=4,则错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。= ▲ .
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13.在平面直角坐标系xOy中,已知AB是圆O:x+y=1的直径,若直线l:kx-y-3k+1=0上存在点
P,连接AP与圆O交于点Q,满足BP∥OQ,则实数k的取值范围是 ▲ .
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14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c+ab≥kbc,则实数k的最大值是 ▲ . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(14分)
在三棱锥P-ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,且PA=PB,∠PDC为锐角. (1)证明:BC∥平面PDE;
(2)若平面PCD⊥平面ABC,证明:AB⊥PC.
16.(14分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin Bsin(B+错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。. (1)求B;
(2)求sin A+sin C的取值范围.
17.(14分)
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1(a>b>0)的离心率为错误！未找到引用源。,且点(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。,直线AD与椭圆C的另一个交点为B,若PA⊥PB,求实数λ的值.
18.(16分)
一块圆柱形木料的底面半径为6 cm,高为16 cm.要将这块木料加工成一只笔筒,在木料一端中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同轴,并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一.设小圆柱底面半径为r,高为h,要求笔筒底面的厚度超过1 cm. (1)求r与h的关系,并指出r的取值范围;
(2)笔筒成形后进行后续加工,要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆,其中上
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底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a(元/ cm),桶内侧面喷漆费用是2a(元/ cm),而筒内底面
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铺贴金属薄片,其费用是7a(元/ cm)(其中a为正常数). ①将笔筒的后续加工费用y(元)表示为r的函数;
②求出当r取何值时,能使笔筒的后续加工费用y最小,并求出y的最小值.
19.(16分)
已知函数f(x)=x(ln x-ax)(a∈R). (1)当a=0时,求函数f(x)的最小值;
(2)若函数f(x)既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围;
2
(3)设g(x)=ax-(a-1)x+a,若对任意的x∈(1,+∞),都有f(x)+g(x)>0,求整数a的最大值. 20.(16分)
已知数列{an}的首项a1≠0,其前n项和为Sn,且Sn=3an-2a1对任意正整数n都成立. (1)证明:数列{an}为等比数列;
(2)若a1=错误！未找到引用源。,设bn=错误！未找到引用源。,求数列{bn}的前n项和为Tn;
*k-1k-1
(3)若a1,ak(k≥3,k∈N)均为正整数,如果存在正整数q,使得a1≥q, ak≤(q+1),证
k-1
明:a1=2.
高三数学考试卷参考答案
1.{2} 2.错误！未找到引用源。 3.100 4.4 5.4 6.错误！未找到引用源。 7.错误！未找到引用源。π 8.错误！未找到引用源。 9.70 10.错误！未找到引用源。 11.(错误！未找到引用源。,2] 12.-4
13.(-错误！未找到引用源。,+∞) 14.2错误！未找到引用源。-1
15.证明:(1)因为D,E分别为AB,AC的中点, 所以DE∥BC. ................................................................. 2分 又DE?平面PDE,BC?平面PDE,
所以BC∥平面PDE. ........................................................... 5分 (2)过点P作PO⊥CD,垂足为O.
又平面PCD⊥平面ABC,PO?平面PCD,
平面PCD∩平面ABC=CD,所以PO⊥平面ABC. 又因为AB?平面ABC,所以AB⊥PO. .............................................. 9分 因为PA=PB,D为AB的中点,所以AB⊥PD. ........................................ 11分 又∠PDC为锐角,一定有PO∩PD=P,PO,PD?平面PCD,所以AB⊥平面PCD. 又PC?平面PCD, 所以AB⊥PC. ................................................................ 14分 16.解:(1)由sin Bsin(B+错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。,可得sin B(sin Bcos错误！未找到引用源。+cos Bsin错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。,
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即错误！未找到引用源。sinB+错误！未找到引用源。sin Bcos B=错误！未找到引用源。,故错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。sin 2B=错误！未找到引用源。,整理得sin(2B-错误！未找到引用源。)=1. .................................................... 3分 又B为三角形的内角,即B∈(0,π),于是2B-错误！未找到引用源。∈(-错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。),
所以2B-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,从而B=错误！未找到引用源。. 6分 (2)sin A+sin C=sin A+sin(π-(A+B))=sin A+sin(错误！未找到引用源。-A)
=sin A+sin错误！未找到引用源。cos A-cos错误！未找到引用源。sin A=错误！未找到引用源。cos A+错误！未找到引用源。sin A=错误！未找到引用源。sin(A+错误！未找到引用源。). ..................................................................... 10分 因为A为三角形的内角,且B=错误！未找到引用源。,
于是A∈(0,错误！未找到引用源。),故A+错误！未找到引用源。∈(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。),所以sin(A+错误！未找到引用源。)∈(错误！未找到引用源。,1]. 所以sin A+sin C=错误！未找到引用源。sin(A+错误！未找到引用源。)∈(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。].
即sin A+sin C的取值范围是(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。]. ...... 14分
17.解:(1)因为点(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。)在椭圆C上,则错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1,
又椭圆C的离心率为错误！未找到引用源。,可得错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,即c=错误！未找到引用源。a,
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所以b=a-c=a-(错误！未找到引用源。a)=错误！未找到引用源。a,代入上式,可得错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1,
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解得a=4,故b=错误！未找到引用源。a=1.
2
所以椭圆C的方程为错误！未找到引用源。+y=1. ................................. 6分 (2)设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),Q(x0,-y0). 因为错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。,则(0,yD-y0)=λ(0,-2y0),故yD=(1-2λ)y0. 所以点D的坐标为(x0,(1-2λ)y0). ............................................... 8分 设B(x1,y1),则kPB·kBA=错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。. ............................... 11分 又kBA=kAD=错误！未找到引用源。=(1-λ)·错误！未找到引用源。, 故kPB=-错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。. 又PA⊥PB,且kPA=错误！未找到引用源。,
所以kPBkPA=-1,即-错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=-1,解得λ=错误！未找到引用源。.
所以λ=错误！未找到引用源。. ............................................... 14分
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18.解:(1)据题意,πrh=错误！未找到引用源。(π×6×16),所以rh=192,即h=错误！未找到引用源。. ................................................................. 3分 因为16-h>1,故h<15,即错误！未找到引用源。<15,解得r>错误！未找到引用源。. 又0 222 (2)①据题意,笔筒的后续加工费用y=7aπr+2a(2πrh)+a(π×6-πr+2π×6×16), 2 整理可得,y=aπ(6r+4rh+228), 22 又h=错误！未找到引用源。,故y=aπ(6r+4r×错误！未找到引用源。+228)=6aπ(r+错误！未找到引用源。+38). 2 所以y=6aπ(r+错误！未找到引用源。+38),定义域为(错误！未找到引用源。,6). .... 10分 ②由①可知,y=6aπ(r2+错误！未找到引用源。+38),x∈(错误！未找到引用源。,6). 所以y'=6aπ(2r-错误！未找到引用源。)=12aπ·错误！未找到引用源。, .......... 12分 令y'=0,解得r=4,列表如下: (错误！未r 找到引用4 (4,6) 源。,4) y' - 0 + y ↘ 极小值 ↗ 故当r=4时,y取得极小值,即最小值为516aπ. ................................... 15分 所以,当r=4时,笔筒的后续加工费用y最小,且y的最小值为516aπ. ............... 16分 19.解:(1)当a=0时,f(x)=xln x,定义域为(0,+∞). f'(x)=ln x+1,令f'(x)=0,可得x=错误！未找到引用源。. .......................... 1分 列表: (0,错误！(错误！未找到引用x 未找到引 用源。) 源。,+∞) 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以,函数f(x)的最小值为f(错误！未找到引用源。)=-错误！未找到引用源。. ....... 3分 (2)f(x)=x(ln x-ax),定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-2ax+1. 记h(x)=f'(x)=ln x-2ax+1,x∈(0,+∞),h'(x)=错误！未找到引用源。-2a, ①当a≤0时,h'(x)>0,h(x)=f'(x)在(0,+∞)上单调递增, 故f'(x)在(0,+∞)上至多有一个零点, 此时,函数f(x)在(0,+∞)上至多存在一个极小值,不存在极大值,不符题意; ........... 4分 ②当a>0时,令h'(x)=0,可得x=错误！未找到引用源。,列表: (0,错误！(错误！未x 未找到引 找到引用用源。) 源。,+∞) h'(x) + 0 - h(x) ↗ 极大值 ↘ 若h(错误！未找到引用源。)≤0,即a≥错误！未找到引用源。时,h(x)≤h(错误！未找到引用源。)≤0,即f'(x)≤0, 故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,函数f(x)在(0,+∞)上不存在极值,与题意不符, ..... 5分 若h(错误！未找到引用源。)>0,即0 由于错误！未找到引用源。>1>错误！未找到引用源。,且h(错误！未找到引用源。)=ln错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+1=-错误！未找到引用源。<0, 故存在x1∈(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。),使得h(x)=0,即f'(x)=0, 且当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,x1)上单调递减; 当x∈(x1,错误！未找到引用源。)时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,x1)上单调递增,函数f(x)在x=x1处取极小值. ................................................................. 7分 由于错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。,且h(错误！未找到引用源。)=ln错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+1=-2ln a-错误！未找到引用源。+1<0(事实上,令μ(a)=-2ln a-错误！未找到引用源。+1,μ'(a)=-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。>0,故μ(a)在(0,1)上单调递增,所以μ(a)<μ(1)=-1<0). 故存在x2∈(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。),使得h(x)=0,即f'(x)=0, 且当x∈(错误！未找到引用源。,x2)时,f'(x)>0,函数f(x)在(错误！未找到引用源。,x2)上单调递增; 当x∈(x2,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)在(x2,+∞)上单调递减,函数f(x)在x=x2处取极大值. 综上所述,当00对任意的x∈(1,+∞)恒成立, 可得xln x-(a-1)x+a>0对任意的x∈(1,+∞)恒成立. 即a<错误！未找到引用源。对任意的x∈(1,+∞)恒成立.(*) 记φ(x)=错误！未找到引用源。,得φ'(x)=错误！未找到引用源。, 设t(x)=x-2-ln x,t'(x)=1-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。>0,则t(x)在(1,+∞)是单调增函数, 又t(3)=1-ln 3<0,t(4)=2-ln 4>0,且t(x)在[3,4]上的图象是不间断的, 所以,存在唯一的实数x0∈(3,4),使得t(x0)=0, 当1 所以当x=x0时,φ(x)有极小值,即为最小值φ(x0)=错误！未找到引用源。, f'(x) f(x) -