【高三】江苏南京市2018届高三《数学》月联考试题(含答案)(2)

0 + ↘ 极小值 ↗ 所以,函数f(x)的最小值为f(错误！未找到引用源。)=-错误！未找到引用源。. ....... 3分 (2)f(x)=x(ln x-ax),定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-2ax+1.

记h(x)=f'(x)=ln x-2ax+1,x∈(0,+∞),h'(x)=错误！未找到引用源。-2a, ①当a≤0时,h'(x)>0,h(x)=f'(x)在(0,+∞)上单调递增, 故f'(x)在(0,+∞)上至多有一个零点,

此时,函数f(x)在(0,+∞)上至多存在一个极小值,不存在极大值,不符题意; ........... 4分 ②当a>0时,令h'(x)=0,可得x=错误！未找到引用源。,列表: (0,错误！(错误！未x 未找到引 找到引用用源。) 源。,+∞) h'(x) + 0 - h(x) ↗ 极大值 ↘ 若h(错误！未找到引用源。)≤0,即a≥错误！未找到引用源。时,h(x)≤h(错误！未找到引用源。)≤0,即f'(x)≤0,

故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,函数f(x)在(0,+∞)上不存在极值,与题意不符, ..... 5分 若h(错误！未找到引用源。)>0,即0

由于错误！未找到引用源。>1>错误！未找到引用源。,且h(错误！未找到引用源。)=ln错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+1=-错误！未找到引用源。<0,

故存在x1∈(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。),使得h(x)=0,即f'(x)=0, 且当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,x1)上单调递减; 当x∈(x1,错误！未找到引用源。)时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,x1)上单调递增,函数f(x)在x=x1处取极小值. ................................................................. 7分 由于错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。,且h(错误！未找到引用源。)=ln错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+1=-2ln a-错误！未找到引用源。+1<0(事实上,令μ(a)=-2ln a-错误！未找到引用源。+1,μ'(a)=-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。>0,故μ(a)在(0,1)上单调递增,所以μ(a)<μ(1)=-1<0). 故存在x2∈(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。),使得h(x)=0,即f'(x)=0, 且当x∈(错误！未找到引用源。,x2)时,f'(x)>0,函数f(x)在(错误！未找到引用源。,x2)上单调递增;

当x∈(x2,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)在(x2,+∞)上单调递减,函数f(x)在x=x2处取极大值.

综上所述,当00对任意的x∈(1,+∞)恒成立, 可得xln x-(a-1)x+a>0对任意的x∈(1,+∞)恒成立.

即a<错误！未找到引用源。对任意的x∈(1,+∞)恒成立.(*)

记φ(x)=错误！未找到引用源。,得φ'(x)=错误！未找到引用源。, 设t(x)=x-2-ln x,t'(x)=1-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。>0,则t(x)在(1,+∞)是单调增函数,

又t(3)=1-ln 3<0,t(4)=2-ln 4>0,且t(x)在[3,4]上的图象是不间断的, 所以,存在唯一的实数x0∈(3,4),使得t(x0)=0,

当1x0时,t(x)>0,φ'(x)>0,φ(x)在(x0,+∞)上递增.

所以当x=x0时,φ(x)有极小值,即为最小值φ(x0)=错误！未找到引用源。,

f'(x) f(x) -