2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 第4讲
直线、平面平行的判定及其性质试题 理 新人教版
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2017·保定模拟)有下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；
④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线. 其中真命题的个数是( ) A.1
B.2
C.3
D.4
解析 命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确. 答案 A
2.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n?α，则“α∥β”是“m∥β且
n∥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若m，n?α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n?α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件. 答案 A
3.(2017·长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( ) A.异面
B.平行
C.相交 D.以上均有可能 解析 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1， ∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC， ∴A1B1∥平面ABC，
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE. ∴DE∥A1B1，∴DE∥AB. 答案 B
4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
解析 ①中，易知NP∥AA′，
MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B， 可得出AB∥平面MNP(如图).
④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP. 在②③中不能判定AB∥平面MNP. 答案 B
5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A.若m∥α，n∥α，则m∥n C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B.若m⊥α，n?α，则m⊥n D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α
解析 若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n?α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n?α，D错. 答案 B 二、填空题
6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.
解析 如图，取CD的中点E.
连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2， 所以MN∥AB.
因为AB?平面ABD，MN?平面ABD，AB?平面ABC，MN?平面ABC， 所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC. 答案 平面ABD与平面ABC
7.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________. 解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝22.又E为AD中
点，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴
EF＝AC＝2.
答案
2
12
8.(2017·承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，
H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情
况)
解析 连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1. 答案 点M在线段FH上(或点M与点H重合) 三、解答题
9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论. 解 (1)点F，G，H的位置如图所示.
(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体， 所以BC∥FG，BC＝FG，
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH?平面ACH，BE?平面ACH， 所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH. 又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.
10.(2014·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. (1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P－ABD的体积V＝平面PBC的距离.
(1)证明 设BD与AC的交点为O，连接EO. 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点. 又E为PD的中点，所以EO∥PB.
3
，求A到4
又因为EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC. 13
(2)解 V＝PA·AB·AD＝AB.
66由V＝
33
，可得AB＝.作AH⊥PB交PB于H. 42
由题设知AB⊥BC，PA⊥BC，且PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.又AH?平面PAB，所以BC⊥AH， 又PB∩BC＝B，故AH⊥平面PBC. ∵PB?平面PBC，∴AH⊥PB， 在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝
13
， 2
所以AH＝
PA·AB313
＝. PB13
313
. 13
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
所以A到平面PBC的距离为
11.给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l?α，m?β，则α∥β； ②若α∥β，l?α，m?β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n. 其中真命题的个数为( ) A.3
B.2
C.1
D.0
解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l，m；②中l与m也可能异面；③
中
??
l?α??l∥n，同理，l∥m，则m∥n，正确. α∩γ＝n??
l∥γ
答案 C
12.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是( ) A.AC⊥BD B.AC∥截面PQMN C.AC＝BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
解析 因为截面PQMN是正方形，所以MN∥QP，又PQ?平面ABC，MN?平面ABC，则MN∥平面
ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，又MN?平面PQMN，AC?平面PQMN，则AC∥截面PQMN，同
理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A，B正确.
又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确. 答案 C
13.如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则
A1D∶DC1的值为________.
解析 设BC1∩B1C＝O，连接OD.
∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，
∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1. 答案 1
14.(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝
CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：
(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1.
证明 (1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC. 又因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.因为AC?平面ABC，所以AC⊥CC1. 又因为AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，
BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1?平面BCC1B1， 所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，
所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C. 因为AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C， 所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1?平面B1AC， 所以BC1⊥AB1.