2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试
数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．不等式|x|?1的解集为__________． 2．计算：lim3n?1?__________．
n??n?23．设集合A?{x|0?x?2}，B?{x|?1?x?1}，则A?B?__________． 4．若复数z?1?i（i是虚数单位），则z?2?__________． z5．已知{an}是等差数列，若a2?a8?10，则a3?a5?a7?__________．
6．已知平面上动点P到两个定点(1,0)和(?1,0)的距离之和等于4，则动点P的轨迹为
__________．
AB?3，BC?4，AA1?5， O是AC7．如图，在长方形ABCD?A1B1C1D1中，11的
第7题图 第12题图
8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生
甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．
99中点，则三棱锥A?AOB11的体积为__________．
2??a??9．设a?R，若?x2??与?x?2?的二项展开式中的常数项相等，则a?__________．
x??x??2210．设m?R，若z是关于x的方程x?mx?m?1?0的一个虚根，则|z|的取值范围
是__________．
11．设a?0，函数f(x)?x?2(1?x)sin(ax)，x?(0,1)，若函数y?2x?1与y?f(x) 1 / 7
的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是__________．
12．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点
P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲
区”中．已知点P以1．5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速
度 从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约 为__________秒（精确到0．1）
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13．下列函数中，为偶函数的是（ ）
（A）y?x （C）y?x?12?2
（B）y?x （D）y?x
313
14．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1
异面的直线条数为（ ） （A）1 （C）3
（B）2 （D）4
15．记Sn为数列{an}的前n项和．“{an}是递增数列”是“Sn为递增数列”的（ ）
（A）充分非必要条件 （C）充要条件
（B）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件
????16．已知A、B为平面上的两个定点，且|AB|?2．该平面上的动线段PQ的端点P、Q，
????????????????????满足|AP|?5，AP?AB?6，AQ??2AP，则动线段PQ所形成图形的面积为（ ）
（A）36
（B）60
（C）81
（D）108
三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知y?cosx．
2 / 7
18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）若f(?)?1?，且??[0,?]，求f(??)的值；
33（2）求函数y?f(2x)?2f(x)的最小值．
x22已知a?R，双曲线?:2?y?1．
a（1）若点(2,1)在?上，求?的焦点坐标；
（2）若a?1，直线y?kx?1与?相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，
求实数k的值．
19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两
个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛
OC物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，
是抛物线的对称轴，OC?AB于C，AB?3米，OC?4.5米．
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求
圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．
图1 图2 图3 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设a?0，函数f(x)?1． x1?a?2 3 / 7
（1）若a?1，求f(x)的反函数f?1(x)；
（2）求函数y?f(x)?f(?x)的最大值（用a表示）；
（3）设g(x)?f(x)?f(x?1)．若对任意x?(??,0]，g(x)?g(0)恒成立，求a的
取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）
若{cn}是递增数列，数列{an}满足：对任意n?N*，存在m?N*，使得
am?cn?0，
am?cn?1则称{an}是{cn}的“分隔数列”．
（1）设cn?2n，an?n?1，证明：数列{an}是{cn}的“分隔数列”；
（2）设cn?n?4，Sn是{cn}的前n项和，dn?c3n?1，判断数列{Sn}是否是数列{dn}的分隔数列，并说明理由；
（3）设cn?aqn?1，Tn是{cn}的前n项和，若数列{Tn}是{cn}的分隔数列，求实数a、
q的取值范围．
4 / 7
参考答案
一、填空题
1．(??,?1)?(1,??)
2．3
3．(0,1)
4．2
5．15
x2y2??1 6．4311．(
7．5
8．180 9．4
10．(3,??) 311?19?,] 66提示：2x?1?x?2(1?x)sin(ax)?x?1?2(1?x)sin(ax)?sin(ax)??1 2?ax?7?11?7?11?7?11?,,?2?,?2?,?4?,?4?,? 666666?0?ax?a ?11?7??a??2? 6640 312．4.4
提示：以A为原点建立坐标系，设时刻为t，则P(0,1.5t),Q(20,20?t),0?t?则lPQ:x?0y?1.5t?，化简得(8?t)x?8y?12t?0
20?020?t?1.5t点O(10,10)到直线PQ的距离|(8?t)?10?80?12t|(8?t)2?83?1，化简得3t2?16t?128?0
即
?8?7?8?87?8?87?8?87，则0?t??t???t??4.4
3333二、选择题
13．A 16．B
提示：建系A(0,0),B(2,0)，则P(x,y)的轨迹为线段x?3,?4?y?4，AP扫过的三角形面积为12，则利用相似三角形可知AQ扫过的面积为48，因此和为60
14．C
15．D
三、解答题
17．（1）
1?223；（2）?
26 5 / 7