方阵问题
学生排队，士兵列操，横着排叫作行，竖着排叫作列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫作方阵。方阵可分实心方阵和空心方阵两种。如果一个方阵中间都是排满的，就叫实心方阵；反之，就叫空心方阵。
解方阵问题时，应注意方阵中排列的规律，找出巧妙的解法。一般来说，无论是实心方阵，还是空心方阵，都具有以下特点：
1．方阵无论哪一层，每边上的人（或物）数量都是相等的；每向里一层，每边上的人（或物）数就少2；
2．每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系是：
四周人（或物）数 = [ 每边人（或物）数 – 1 ] × 4 每边人（或物）数 = 四周人（或物）数 ÷ 4 + 1
3．实心方阵的总人（或物）数一每边人（或物）数×每边人（或物）数；
4．空心方阵的总人（或物）数=[最外层每边人（或物）数]2–[最内层每边人（或物）数]2；
5．方阵相邻两层人（或物）数相差8。
解空心方阵时，如果利用“四分法”将空心方阵分成四个相等的矩形，就会有化腐朽为神奇之感。这时，空心方阵的总人（或物）数 = [最外层每边人（或物）数–空心方阵的层数] × 空心方阵的层数 × 4。 【例1】 三（1）班的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列。如果去掉一行一列，要去掉多少人? 还剩下多少人?
分析 横行去掉7个，竖列去掉7人，好像去掉了（7 + 7）= 14人，但是行和列交汇处的那个人被重复计算了一次，所以去掉的总人数要减去1。
〖即学即练1〗（1）运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉1行1列，要减少多少名运动员?
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（2）东方小学四年级准备排演一个正方形队列参加学校广播体操表演，先排了一个14行14列的队伍。但觉得不够气势，所以决定增加1行1列，则还需补充多少人参加队列表演?
【例2】 棋子若干粒，如果排成三层的中空方阵，就多20粒；如果中空部分增加两层，就少12粒。棋子有多少粒?
分析 相邻两层相差8，中空部分增加两层，需20 + 12 = 32粒棋子。32 = 12 + 20，最内层为12粒，第2层为20粒。
〖即学即练2〗（1）在一块正方形土地的四边植树，每边栽17棵，四个角各栽1棵，共可以栽多少棵树?
（2）某小学三年级的学生排成一个实心方阵，最外面一层有学生40人。这个方阵共有学生多少人?
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【例3】 小朋友们排成方阵做广播体操。小明恰好站在方阵的正中心，此时无论从前往后或者从后往前数时他都排在第5个，无论是从左往右或者是从右往左数时他都排在第6个，则这个方阵中一共有几位小朋友?
分析 小明前、后各有5–1 = 4（人），琊么一列就有4 + 1 + 4 = 9（人），一列9人方阵共9行；小明左、右各有6–1 = 5（人），那么一行就有5 + 1 + 5 = 11（人），一行11人表示方阵共11列。
〖即学即练3〗学校为庆祝“十一”，用花盆摆了一个中空方阵，最外一层有36盆花。这个方阵每边共有多少盆花?
【例4】 光明小学三年级原准备排成一个正方形队列参加广播体操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉29人。三年级原来准备多少人参加表演? 分析 横、竖各减少1排，共减少29人，说明原来每边（29 + 1）÷ 2 = 15（人）。
〖即学即练4〗 某校学生进行队列表演，排成一个正方形队列。如果这个队列横、竖各去掉一排，则减少15人。原米参加队列表演的学生有多少人?
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【例5】 若干个学生排成一个空心方阵，最外层每边10人，最内层每边6人。学生共有多少人？
分析 由于每向里一层，每边上的人数就少2，所以如图，将这个空心方阵填上一个边长为（6–2）的实心方阵，它也变成了一个边长为10的实心方阵，所以学生总人数就等于10 × 10 –4 × 4 = 84（人）。
〖即学即练5〗（1）有一体育馆的地面要铺瓷砖，排成空心方阵，外层每边26块，内层每边20块。一共使用了瓷砖多少块?
（2）社区居委会打算从林场采购一些小树苗。居委会王大妈发现，林场的一些小树苗排成了一个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树。王大妈将这些小树苗全都买下来，发动小区居民将这些树苗种在小区南边的一条马路上。这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵。那么，最后还剩下多少棵小树苗?
【例6】 聪聪用棋子摆了一个5层的空心方阵，共用了220枚棋子。最外边一层每边有多少枚棋子?
分析 如图，以层数5作为一条边，以每边棋子数与层数5的差作为另一条边，将这个空心方阵分成四个完全一样的长方形，则每个长方形共有棋子220 ÷ 4 = 55（枚），长方形的长边上有棋子55 ÷ 5 = 11（枚），空心方阵最外层每边上有棋子11 + 5 = 16（枚）。
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〖即学即练6〗 （1）有儿童排成每边24人的实心方阵，今想改成三层的空心方阵，空心方阵的最外层共有几人?
（2）有棋子若干枚，它们恰好可以排成一个外层每边10枚棋子的4层空心方阵。这些棋子的总数是多少? 最外层共有棋子多少枚?
【例7】 有一堆棋子，排成实心正方形方阵，剩余9枚棋子。若正方形纵、横两个方向各增加一层，则缺少12枚棋子。共有棋子多少枚?
分析 若正方形纵、横两个方向各增加一层，已有的9枚棋子不够，还需要增加12枚，说明正方形纵横各增加一层需要9 + 12 = 21（枚）棋子，则增加后的正方形每边有（21+1）÷2 = 11（枚）棋子。
〖即学即练7〗 有学生若干人，如果排成实心方阵，则不足14人；如果每边少排1人，就余41人。学生一共有多少人?
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