2008信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编
第一章 绪论
姓名 学号 班级
习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1. 若误差限为0.5×10，那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2. ??3.14159?，具有4，5位有效数字的近似值分别是多少？（有效数字的计算） 3. 已知a?1.2031,b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a?b,a?b有几位有效
数字？（有效数字的计算）
4. 设x?0，x的相对误差为?，求lnx的误差和相对误差？（误差的计算）
5测得某圆柱体高度h的值为h*?20cm，底面半径r的值为r*?5cm，已知
－5
|h?h*|?0.2cm，|r?r*|?0.1cm，求圆柱体体积V限。（误差限的计算）
??r2h的绝对误差限与相对误差
5. 设y?x，求y的相对误差与x的相对误差的关系。设x的相对误差为a%,求x的相
nn对误差.（函数误差的计算）
6. 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r时允许的相对误差限为
多大何？（函数误差的计算）
17. 设In?e?1xnexdx求证：
?0（1）In?1?nIn?1(n?0,1,2,?)
（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）
第二章 插值法
姓名 学号 班级
1
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习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1. 求一个次数小于等于三次多项式
，
，满足如下插值条件：，，
（插值多项式的构造）
，
，求
的Lagrange插值多项式。（拉格朗
2. 已知：
日插值）
，
3. 已知y=x，x0=4，x1=9，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 4. 若xj(j?0,1,?,n)为互异节点，且有
lj(x)?n(x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)kjjk
5. 证明
?xl(x)?xj?0,k?0,?1,n, （拉格朗日插值基函数的性质）
6. 已知sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274，用抛物线插值计算
sin0.3367的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）
??x?0,x?,x?012cosx42三个节点处的值写出二次Lagrange插值多7. 用余弦函数在
?cos6及其绝对误差与相对误差，项式函数, 并近似计算且与误差余项估计值比较。（拉
格朗日二次插值）
8. 已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差
f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4，1，3]。（均差的计算）
9. 设：
求
互异。（均差的计算）
之值，.这里
10. 依据如下函数值表
x f(x) 0 1 1 9 2 23 4 3 建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）
11. 作一个三次多项式H(x)使满足H(0)?1,H(1)?0,H(2)?1,H?(1)?1（埃尔米特插
2
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值）。
12. 设
H（x）使满足写出余项
(1)试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）以升幂形式给出。(2)
的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。
13. 证明若f(x)?c[a,b]，f(a)=f(b)=0,则：a?x?b值余项的应用）
2max|f (x)|?1?b?a?2max|f ?? (x)|a?x?b8（插
14. 给出函数表：
0 xi F(xi) F’(xi) 1 2 1 -1 1 2 15. 且已知F(x)在[0，2]上4阶连续可导，求F(x)的3次Hermite插值多项式。（埃尔米
特插值）。
16. 设f(?2)??1,f(0)?1,f(2)?2，求 p(x) 使 p(xi)?f(xi)(i?0,1,2)；
又设
第三章 函数逼近
姓名 学号 班级
习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。 1. 设2. 令
f???(x)?M ，则估计余项 r(x)?f(x)?p(x) 的大小 。（插值余项的计算）
，求，
于，且设
上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）
，求
使得
为
于
3
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上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 3. 定义内积(f,g)??10?1,x?中寻求对于f?x??x的最佳f(x)g(x)dx试在H1?Span平方逼近多项式p?x?. （最佳平方逼近）
4. 证明：切比雪夫多项式{Tk(x)?cos(karccosx),|x|?1}在区间??1,1?上
带权?(x)?1/1?x2正交。（正交多项式的证明）
?x1?x2?3?5. 求矛盾方程组：?x1?2x2?4的最小二乘解。（最小二乘法）
?x?x?22?16. 已知一组试验数据
xk yk 2 4 2.5 4.5 3 4 6 8 5 8.5 5.5 9 试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近）
2y?a?bx7. 用最小二乘原理求一个形如的经验公式,使与下列数据相拟合.
x y （最小二乘二次逼近）
19 25 31 38 44 19 32.3 49 73.3 97.8 第四章 数值积分
姓名 学号 班级
习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，Simpson公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。 1. 求积公式
，试确定系数
及
，使该求积
公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算）
4
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12. 已知高斯求积公式
?1?f(x)dx?f(0.57735)?f(?0.57735)将区间[0,1]二等
1分，用复化高斯求积法求定积分
?0xdx的近似值。（高斯公式）
3. 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有
尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）
4. 数值积分公式，是否为插值型求积公式，为什么？又该公
式的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征） 5. 给定求积公式
?h?hf(x)dx?af(?h)?bf(0)?cf(h)试确定a,b,c使它的代数精度尽可
能高。（代数精度的应用和计算） 6. 如果f??(x)?0，证明用梯形公式计算积分
其几何意义。（梯形求积）
?baf(x)dx所得到的结果比准确值大，并说明
7. 用n?4的复化梯形公式计算积分
?211dxx，并估计误差。（复化梯形求积）
8. 设f(?1)?1,f(?0.5)?4,f(0)?6,f(0.5)?9,f(1)?2，则用复化Simpson公式
?计算
1?1f(x)dx，若有常数M使
f(4)?M，则估计复化Simpson公式的整体截断误
差限。（复化Simpson公式）
9. 验证当f(x)?x时，n?4的牛顿-科茨公式是准确的。（牛顿-科茨公式） 10. 1）设
5?Pn(x)?是[0,1]区间上带权?(x)?x的最高次项系数为
1的正交多项式系，求
P2(x)
2）构造如下的Gauss型求积公式
5
?xf(x)dx?A010f(x0)?A1f(x1)（高斯求积）