2008信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编
（谱半径的性质）
第八章 线性方程组的迭代解法
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习题主要考察点：Jacobi,Gauss-Seidel迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。
1. 用Jacobi,Gauss-Seidel迭代法解下列方程组
?x1?2x2?3??3x1?2x2?4是否收敛?为什么?若将
方程组变为
?3x1?2x2?4??x1?2x2?3再用上述两种迭代法求解是否收敛?为什么?
（Jacobi,Gauss-Seidel迭代法的计算和比较）
2. 证明：迭代格式
收敛性判断）
收敛，其中。（迭代法
?410??121????011??。（Jacobi迭代收敛3. 证明解线性方程组AX=b的Jacobi迭代收敛，其中 A=?判断）
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4. 已知方程组，其中
(1)试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性。 (2) 若有迭代公式
，试确定一个的取值范围，在这个范
围内任取一个值均能使该迭代公式收敛。（Jacobi,Gauss-Seidel迭代法的计算和比较）
5. 给出矩阵，（为实数）.试分别求出的取值范围：
时收敛；
时收敛。（Jacobi,Gauss-Seidel
1） 使得用Jacobi迭代法解方程组2） 使得用Gauss-Seidel迭代法解方程组
迭代法的计算和比较）
?21??1???A??, b??12??2??????求 6. 设
(k)1）设x是由 Jacobi 迭代求解方程组Ax=b所产生的迭代向量，x(0)?(1,1)T写出x(k)的
精确表达式。
2）设x*是Ax=b的精确解，写出误差x(k)?x*的精确表达式。
?(k?1)(k)(k)x?x??(Ax?b)解方程组Ax=b，试 确定?的范围，3）如构造如下的迭代公式
使迭代收敛。（Jacobi迭代及其收敛判断）
7. 设给定线性方程组：
?x1?2x2?2x3?1??x1?x2?x3?2?2x?2x?x?323?1
（1）讨论Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛性。
?1??2??0?（2）对收敛的方法，取初值x??1,0,0?，迭代两次，求出x,x。（Jacobi,Gauss-Seidel
T迭代法的计算和比较）
??A???1???38. 设有系数矩阵3??2??2??? ?取什么值时，Gauss-Seidel迭代法收敛？??3时
1又怎样？并比较谱半径。（Gauss-Seidel迭代法的收敛性）
?a11x1?a12x2?b1?ax?a22x2?b29. 若用Jacobi迭代法求解方程组?211
(a11a22?0)迭代收敛的充要条
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件是
a12a21?1a11a22。（Jacobi迭代法的收敛性）
10. 证明对称矩阵
?1aa??
A??a1a????aa1??当?111?a?1为正定矩阵，且只有当??a?时，用Jacobi迭代法求解方程组Ax=b才222收敛。（特殊迭代矩阵Jacobi迭代法的收敛性）
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