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如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
等差数列的通项公式为：
an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式为：
Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)
从(1)式可以看出，an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
任意两项am，an的关系为：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=ak+an-k+1，k∈{1,2,?,n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，?，Snk-S(n-1)k?或等差数列，等等。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
等比数列的通项公式是：an=a1·qn-1
前n项和公式是：Sn=a1(1-qn)/1-q
在等比数列中，a,b的等比中项：G=±(ab)1/2
且任意两项am，an的关系为an=am·qn-m
如果等比数列的公比q满足0＜∣q∣＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各
项的和(又叫所有项的和)的公式为：
从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=?=ak·an-k 1，k∈{1,2,?,n}
若m，n，p，q∈N*，则有：ap·aq=am·an，
记πn=a1·a2?an，则有
π2n-1=(an)2n-1，π2n 1=(an 1)2n 1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。
数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。
三、 范例
例1．设ap，aq，am，an是等比数列中的第p、q、m、n项，若p+q=m+n，求证：apoaq=amoan
证明：设等比数列的首项为a1，公比为q，则
ap=a1·qp-1，aq=a1·qq-1，am=a1·qm-1，an=a1·qn-1
所以：ap·aq=a12qp+q-2，am·an=a12·qm+n-2，故：ap·aq=am+an
说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：
a1+k·an-k=a1·an
对于等差数列，同样有：在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：
a1+k+an-k=a1+an
例2．在等差数列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10=
A.20 B.22 C.24 D28
解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得5a8=120，a8=24
而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故选C
例3．已知等差数列满足a1+a2+a3+?+a101=0，则有( )
A.a1+a101＞0 B. a2+a100＜0 C.a3+a99=0 D.a51=51
解：显然，a1+a2+a3+?+a101故a1+a101=0，从而a2+a100=a3+a99=a1+a101=0，选C
例4．设Sn为等差数列的前n项之各，S9=18，an-4=30(n＞9)，Sn=336，则n为( )
A.16 B.21 C.9 D8
解：由于S9=9×a5=18，故a5=2，所以a5+an-4=a1+an=2+30=32，而，故n=21选B 例5．设等差数列满足3a8=5a13，且a1＞0，Sn为其前n项之和，则Sn(n∈N*)中最大的是 (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
解：∵3a8=5a13∴3(a1+7d)=5(a1+12d)故令an≥0→n≤20；当n＞20时an＜0
∴S19=S20最大，选(C) 注：也可用二次函数求最值
例6．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样
的数列共有( ) (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
解：设等差数列首项为a，公差为d，则依题意有( )
即【2a+(n-1)d】on=2×972 (*)
因为n是不小于3的自然数，97为素数，故数n的值必为2×972的约数(因数)，它只能是97，2×97，972，2×972四者之一。
若d＞0，则d≥1由(*)式知2×972≥n(n-1)d≥n(n-1)故只可能有n=97，(*)式化为：a+48d=97，这时(*)有两组解：
若d=0，则(*)式化为：an=972，这时(*)也有两组解。
故符今题设条件的等差数列共4个，分别为：
49，50，51，?，145，(共97项)1，3，5，?，193，(共97项)
97，97，97，?，97，(共97项)1，1，1，?，1(共972=9409项)故选(C)
例7．将正奇数集合{1，3，5，?}由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组：
， {3，5，7}，{9，11，13，15，17}，?
(第一组) (第二组) (第三组) 则1991位于第 组中。
解：依题意，前n组中共有奇数
1+3+5+?+(2n-1)=n2个
而1991=2×996-1，它是第996个正奇数。
∵312=961＜996＜1024=322
∴1991应在第31+1=32组中。故填32
例8．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 。
解：设该数为x，则其整数部分为【x】，小数部分为x-【x】，由已知得：x·(x-【x】=【x】2
其中【x】＞0，0＜x-【x】＜1，解得：由0＜x-【x】＜1知，∴【x】=1，
例9．等比数列的首项a1=1536，公比，用πn表示它的前n项之积，则πn(n∈N*)最大的 (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 解：等比数列的通项公式为，前n项和 因为故π12最大。 选(C)
例10．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= 。
解：依题意，有y-x=4(a2-a1) ∴； 又y-x=3(b3-b2) ∴
例11．设x,y,Z是实数，3x,4y,5z成等比数列，且成等差数列，则的值是 。因为3x,4y,5z成等比数列，所以有3x·5z=(4y)2 即16y2=15xz ① 又∵成等差数列，所以有即②将②代入①得：
∵x≠0,y≠0,z≠0∴64xz=15(x2+2xz+z2)∴15(x2+z2)=34xz 例12．已知集合M={x,xy,lg(xy)}及N={0,∣x∣,y} 并且M=N，那么的值等于 。
解：由M=N知M中应有一元素为0，任由lg(xy)有意义知xy≠0，从而x≠0，且y≠0，故只有lg(xy)=0， xy=1，M={x,1,0}；若y=1，则x=1，M=N={0，1，1}与集合中元素互异性相连，故y≠1，从而∣x∣=1，x=±1；由x=1 y=1(含)，由x=-1 y=-1，M=N={0,1,-1} 此时，从而注：数列x，x2，x3，?，x2001；以及
在x=y=-1的条件下都是周期为2的循环数列，S2n-1=-2，S2n=0，故2001并不可怕。 例13．已知数列满足3an+1+an=4(n≥1)且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式( ) ∣Sn-n-6∣＜的最小整数n是( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解：由3an+1+an=4(n≥1) 3an+1-3=1-an 故数列是以8为首项，以为公比的等比数列，所以 当n=7时满足要求，故选(C)
【注】：数列既不是等差数列，也不是等比数列，而是由两个项数相等的等差数列：1，1，?，1和等比数列： 的对应项的和构成的数列，故其前n项和Sn可转化为相应的两个已知数列的和，这里，观察通项结构，利用化归思想把未知转化为已知。
例14．设数列的前n项和Sn=2an-1(n=1,2,?)，数列满足b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,?)求数列的前n项和。
解：由Sn=2an-1，令n=1，得S1=a1=2a1-1，∴a1=1 ① 又Sn=2an-1 ②Sn-1=2an-1-1 ③