②-③得：Sn-sn-1=2an-2an-1∴an=2an-2an-1
∴数列是以a1=1为首项，以q=2为公比的等比数列，故an=2n-1 ④ 由⑤ ∴以上诸式相加，得
注：本题综合应用了a1-s1，a3=Sn-Sn-1(n≥2)以及等差数列、等比数列求和公式以及叠加等方法，从基本知识出发，解决了较为复杂的问题。选准突破口，发现化归途径，源于对基础知识的深刻理念及其联系的把握。 例15．n2个正数排成n行n列
a11，a12，a13，a14，?，a1n
a21，a22，a23，a24，?，a2n
a31，a32，a33，a34，?，a3n
a41，a42，a43，a44，?，a4n
an1，an2，an3，an4，?，ann。
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等。已知 解：设第一行数列公差为d，纵行各数列公比为q，则原n行n列数表为：
故有： ②÷③得，代入①、②得④
因为表中均为正数，故q＞0，∴，从而，因此，对于任意1≤k≤n，有 记S=a11+a22+a33+?+ann ⑤ ⑥⑤-⑥得：
评注：本题中求和，实为等差数列an=n与等比数列的对应项乘积构成的新数列的前n项的和，将⑤式两边同乘以公比，再错项相减，化归为等比数列求各。这种方法本是求等比数列前n项和的基本方法，它在解决此类问题中非常有用，应予掌握。课本P137复习参考题三B组题第6题为：求和：S=1+2x+3x2+?+nxn-1；2003年北京高考理工类第(16)题：已知数列是等差数列，且a1=2,a1+a2+a3=12，(I)求数列的通项公式；(II)令bn=an·xn(x∈R)，求数列的前n项和公式。都贯穿了“错项相减”方法的应用。 练习
1．给定公比为q(q≠1)的等比数列，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，?，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，?，则数列 ( ) (A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列
(C)是公比为q3的等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列
2．等差数列的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( )
A．130 B．170 C．210 D．260
3．等差数列中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于 。
4．已知数列是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12 (I)求数列的通项公式；
(II)(文)令bn=an·3n，求数列的前n项和的公式； (理)令bn=an·xn (x∈R)，求数列的前n项和的公式 5．求和： (1)S=1+2x+3x2+?+nxn-1
(2)求数列：1，6，27，?，n-3n-1，的前n项之和Sn。
6．已知正整数n不超过2000，且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的n的个数是
7．各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项。参考答案 1．(C)2．(C)3．44．(I)an=2n(II)5．6．6个7．8