南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷
高二数学（理科） 2017.01
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本
试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案
．．．
写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
．．．．．．．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上 1．命题“若a＝b，则|a |＝|b|”的逆否命题是 ▲ ． 2．双曲线x－＝1的渐近线方程是 ▲ ．
43．已知复数
2
y2
a＋2i
1－i
为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是 ▲ ．
4．在平面直角坐标系xOy中，点(4，3)到直线3x－4y＋a＝0的距离为1，则实数a的值 是 ▲ ．
5．曲线y＝x与直线y＝4x＋b相切，则实数b的值是 ▲ ．
4
??x＋y－2≥0，
6．已知实数x，y满足条件?x－y≤0，则z＝2x＋y的最大值是 ▲ ．
??y≤3，
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF＝5，则点P的横坐标是 ▲ ．
8．在平面直角坐标系xOy中，圆O:x＋y＝r(r＞0)与圆M:(x－3)＋(y＋4)＝4相交，则r的取值范围是 ▲ ． 9．观察下列等式
π－22π－24
(sin)＋(sin)＝×1×2；
333
π－22π－23π－24π－24
(sin)＋(sin)＋(sin)＋(sin)＝×2×3；
55553π－22π－23π－26π－24
(sin)＋(sin)＋(sin)＋?＋(sin)＝×3×4；
77773π－22π－23π－28π－24
(sin)＋(sin)＋(sin)＋?＋(sin)＝×4×5；
99993 ??
依此规律，当n∈N时，
- 1 -
*
2
2
2
2
2
2
π2π－23π2nπ－2－2－2
(sin)＋(sin)＋(sin)＋?＋(sin)＝ ▲ ．
2n＋12n＋1 2n＋1 2n＋110．若“?x∈R，x＋ax＋a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是 ▲ ．
2
11．已知函数f(x)＝(x＋x＋m)e(其中m∈R，e为自然对数的底数)．若在x＝－3处函数 f (x)有极大值，则函数f (x)的极小值是 ▲ ． 12．有下列命题：
①“m＞0”是“方程x＋my＝1表示椭圆”的充要条件；
②“a＝1”是“直线l1:ax＋y－1＝0与直线l2:x＋ay－2＝0平行”的充分不必要条件； ③“函数f (x)＝x＋mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；
④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．
其中所有真命题的序号是 ▲ ．
3
2
2
2xx2y2
13．已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的焦距为2c(c＞0)，左焦点为F，点M的坐标为
ab (－2c，0)．若椭圆E上存在点P，使得PM＝2PF，则椭圆E离心率的取值范围是 ▲ ．
??x(x－t)，x≤t，
14．已知t＞0，函数f(x)＝?1若函数g(x)＝f(f(x)－1)恰有6个不同的零
x，x＞t．??4
点，则实数t的取值范围是 ▲ ．
．．．．．．．．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，
2
C(2，－4)．
(1)求BC边上的中线所在直线的方程； (2)求BC边上的高所在直线的方程．
- 2 -
16．(本题满分14分)
已知数列{an}满足a1＝1，(an－3)an＋1－an＋4＝0(n∈N). (1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.
17．(本题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝－2x上，且圆M与直线
*
x＋y－1＝0相切于点P(2，－1)．
(1)求圆M的方程；
(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．
18．(本题满分16分)
某休闲广场中央有一个半径为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观．．光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF和梯形DEFC)构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径(如图)．设 ∠AOF＝θ，其中O为圆心．
(1)把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f(θ)；
(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积． B C - 3 - A O θ F E （第18题图）
D
19．(本题满分16分)
x2y23
在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，两个顶点分别
ab2
→→为A(－a，0)，B(a，0)，点M(－1，0)，且3AM＝MB，过点M斜率为k(k≠0)的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方． (1)求椭圆E的方程； (2)若BC⊥CD，求k的值；
(3)记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．
20．（本题满分16分）
已知函数f(x)＝ax－lnx(a∈R). (1)当a＝1时，求f(x)的最小值； (2)若存在x∈，使得
A D (第19题图)
k1
k2
y C M O B x f(x)
＋lnx＝2成立，求a的取值范围; x2
(3)若对任意的x∈∪ 14．(3，4)
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
- 4 -
15．（本题满分14分）
解：（1）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D的坐标为（6，0）， ??????2分
8－0
所以AD的斜率为k＝＝8， ?????? 5分
7－6所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，
即8x－y－48＝0． ?????? 7分 4－(－4)
（2）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝＝1，?? 9分
10－2 所以BC边上的高所在直线的斜率为－1， ??????? 12分 所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－1(x－7)，
即x＋y－15＝0． ?????????? 14分 16．（本题满分14分）
3解：（1）令n＝1，－2a2＋3＝0，a2＝， ??????1分
2
335
令n＝2，－a3－＋4＝0，a3＝， ??????2分
223457
令n＝3，－a4－＋4＝0，a4＝． ??????3分
3342n－1*
（2）猜想an＝(n∈N)． ??????5分
n证明：当n＝1时，a1＝1＝
2－12n－1
，所以an＝成立， ?????? 6分 1n2n－12k－1
假设当n＝k时，an＝成立，即ak＝， ??????8分
nk2k－12k－1则(ak－3)ak＋1－ak＋4＝0，即(－3)ak＋1－＋4＝0，
kk所以
k+12k+12k+12(k+1)－1
ak＋1＝，即ak＋1＝＝， kkk+1k+1
n2n－1所以当n＝k＋1时，结论an＝成立. ??????12分 综上，对任意的n∈N，an＝17．（本题满分14分）
解：（1）过点(2，－1)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－3＝0， ??2分 由?
?y＝－2x，
?x＝1，
解得?
?x－y－3＝0，?y＝－2．
*
2n－1
成立. ??????14分
n 所以圆心M的坐标为(1，－2)， ??????4分 所以圆M的半径为r＝(2－1)＋[－1－(－2)]＝2， ??????6分
2
2
- 5 -