所以圆M的方程为 (x－1)＋(y＋2)＝2． ??????7分 （2）因为直线l被圆M截得的弦长为6， 所以圆心M到直线l的距离为d＝
2－(
622
)＝， ?????9分 22
22
若直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意． 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0， 由d＝
|k＋2|
＝2
2
， ??????11分 2
k2＋(－1)
2
整理得k＋8k＋7＝0，
解得k＝－1或－7， ??????13分 所以直线l的方程为x＋y＝0或7x＋y＝0． ??????14分 18．（本题满分16分） 解：（1）作AH⊥CF于H，
则OH＝cosθ，AB＝2OH＝2cosθ，AH＝sinθ， ?????2分 1
则六边形的面积为f (θ)＝2×(AB＋CF)×AH＝(2cosθ＋2)sinθ
2
π
＝2(cosθ＋1)sinθ，θ∈(0，)． ??????6分
2（2）f ′(θ)＝2
＝2(2cosθ＋cosθ－1)＝2(2cosθ－1)(cosθ＋1)． ??????10分 π
令 f ′(θ)＝0，因为θ∈(0，)，
2
1π
所以cosθ＝，即θ＝， ????????12分
23ππ
当θ∈(0，)时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，)上单调递增；
33
ππππ
当θ∈(，)时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)在(，)上单调递减， ????14
3232分
ππππ3
所以当θ＝时，f (θ)取最大值f ()＝2(cos＋1)sin＝3． ????15
33332分
π3
答：当θ＝时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为3平方百米．
32 ??????????16分
2
- 6 -
19．（本题满分16分） →→解：（1）因为3AM＝MB，
所以3(－1＋a，0)＝(a＋1，0)，解得a＝2． ??????2分 又因为＝ca3 222
，所以c＝3，所以b＝a－c＝1， 2
所以椭圆E的方程为＋y＝1． ??????4分
4（2）方法1
设点C的坐标为(x0，y0)，y0＞0,
→→则CM＝(－1－x0，－y0)，CB＝(2－x0，－y0)．
因为BC⊥CD，所以(－1－x0)( 2－x0)＋y0＝0． ① ?????6分 又因为
2
x2
2
x02
4
＋y0＝1， ②
2
222
联立①②，解得x0＝－，y0＝， ??????8分
3322
3
所以k＝＝22． ??????10分
2－＋13方法2
因为CD的方程为y＝k(x＋1)，且BC⊥CD，
1
所以BC的方程为y＝－(x－2)， ??????6分
k2－k3k联立方程组，可得点C的坐标为(2，2)， ??????8分
1＋k1＋k2－k2(2)1＋k3k2
代入椭圆方程，得＋(2)＝1，
41＋k解得k＝±22． 又因为点C在x轴上方，所以
3k2＞0，所以k＞0， 1＋k2
2
所以k＝22 ??????10分 （3）方法1
因为直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
k(x＋1)，??y＝22222
由?x消去y，得(1＋4k)x＋8kx＋4k－4＝0， 2
＋y＝1，??4
- 7 -
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
8k4k－4
则x1＋x2＝－2，x1x2＝2． ???????12分
1＋4k 1＋4k2
2
k(x2＋1)
x2＋2k1x2＋2(x2＋1)(x1－2)
所以＝＝＝ k2y1k(x1＋1)(x2＋2)(x1＋1)
x1－2x1－2
＝
y2
x1x2－2(x1＋x2)＋3x1－2
???????14分
x1x2＋(x1＋x2)＋x1＋2
2
2
2
4k－48k12k－6
2－2×(－2)＋3x1－22＋3x1
1＋4k 1＋4k 1＋4k＝＝＝3， 222
4k－48k4k－2 2＋(－2)＋x1＋22＋x1 1＋4k 1＋4k 1＋4k所以为定值． ?????????16分 方法2
因为直线AD的方程为y＝k1(x＋2)，
k1k2
k1(x＋2)，2??y＝2－8k14k12
由?x解得D(，22)， ?????????12分 2
1＋4k1 1＋4k1＋y＝1，?4?
因为直线BC的方程为y＝k2(x－2)，
k2(x－2)，2??y＝8k2－2－4k22
由?x解得C(2，2)， 2
1＋4k2 1＋4k2＋y＝1，??4
→→ 由于C，M，D三点共线，故MC，MD共线，
8k2－2－4k212k2－1－4k2→ 又MC＝(2＋1，2)＝(2，2)，
1＋4k2 1＋4k2 1＋4k2 1＋4k22－8k14k13－4k14k1→ MD＝(2＋1，2)＝(2，2)，
1＋4k1 1＋4k1 1＋4k1 1＋4k1
12k2－14k1－4k23－4k1
所以2·2＝2·2， ?????14分
1＋4k2 1＋4k1 1＋4k2 1＋4k1 化简得12k2k1－k1＝4k1k2－3k2，即(4k1k2＋1)(k1－3k2)＝0， 18k2－2－4k2
若4k1k2＋1＝0，则k2＝－代入C(2，2)，
4k1 1＋4k2 1＋4k2
2－8k14k1
化简得C(，22)，
1＋4k1 1＋4k1
此时C与D重合，于是4k1k2＋1≠0，从而k1－3k2＝0， 所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k1k1
＝3，即为定值． ?????????16分 k2k2
- 8 -
方法3
设C(x0,y0)，则CD：y＝
0
y0
(x+1)(－2＜x0＜2且x0≠－1)， x0+1
?y＝ xy+1(x+1)， 由?消去y，
x?4＋y＝1，
0
2
2
得x＋8y0x＋4y0－4(x0＋1)＝0. ??????12分 又因为
2222
x02
4
＋y0＝1，所以得D(
2
－8－5x0－3y0
，)， ??????14分
5＋2x05＋2x0
－3y0
k15＋2x0x0－2－3y0x0－2
所以＝· ＝·＝3，
k2－8－5x0 y0－x0＋2 y0
＋2
5＋2x0
所以为定值． ????????16分 方法4
设D(x0，y0)，y0≠0，
4y0y0y021
则k1kBD＝·＝2＝2＝－． ???????12分
x0＋2 x0－2x0－4 x0－44因为CD的方程为y＝k(x＋1)， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
1－
k1
k2
x02
k(x＋1)，??y＝22222
由?x消去y，得(1＋4k)x＋8kx＋4k－4＝0， 2
＋y＝1，??4
8k4k－4则x1＋x2＝－2，x1x2＝2，
1＋4k 1＋4k2
2
k2(x1＋1) (x2＋1)k2(x1 x2＋x1＋x2＋1)
所以k2kBD＝×＝＝ x1－2x2－2 (x1－2)(x2－2) x1 x2－2 (x1＋x2)＋4
y1
y2
4k－48kk(－22＋1)2
1＋4k 1＋4k－3k1＝＝． ???????14分 222＝－
4k－48k36k12 2＋2×2＋4 1＋4k 1＋4k2
2
2
1
又因为k1kBD＝－，
4所以
k1k1
＝3，即为定值． ?????????16分 k2k2
20．（本题满分16分）
1x－1
解：（1）a＝1时，f(x)＝x－ln x , 则f '(x)＝1－＝，
xx
- 9 -
令f '(x)＝0，则x＝1． ????????2分 当0＜x＜1时，f '(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递减；
当x＞1时，f '(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ??????3分 所以当x＝1时，f (x)取到最小值，最小值为1． ???????4分 （2）因为
f(x)
＋lnx＝2(x＞0)， x2xlnx2
所以ax－lnx＝(2－lnx)x，即a＝2x－xlnx＋， ???????6分 lnx设g(x)＝2x－xlnx＋，x∈，
x则g '(x)＝2－(1＋lnx)＋
1－lnx1
＝(1－lnx)(1＋2)， 2
xx令g '(x)＝0，解得x＝e，
当1＜x＜e时，g '(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上单调递增；
当e＜x＜3时，g '(x)＜0，所以g(x)在(e，3)上单调递减， ??????8分 18
因为g(1)＝2，g(e)＝e＋，g(3)＝6－ln3，
e38
因为6－ln3＞2，所以函数g (x)的值域是，
3
所以a的取值范围是． ??????10分 （3）对任意的x∈，则ax－2x＋a＜0，
2
ax2－2x＋a此时h'(x)＝＜0，
x2
1
所以h(x)在上单调递减，所以h()＜h(1)＝0，
a1
即存在x＝＞1，使得h(x)＜0，所以0＜a＜1不满足条件．?????14分
aax2－2x＋a③当a≤0时，因为x≥1，所以h'(x)＝＜0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递
x2
减，
所以当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，所以a≤0不满足条件． 综上， a的取值范围为[1，＋∞). ??????16分
- 10 -